Какие из следующих утверждений гарантированно верны? 1) Количество простых чисел бесконечно. 2) Существует лишь

Тема: Простые и составные числа

Объяснение:

1) Утверждение 1 верно. Количество простых чисел действительно бесконечно. Это было доказано Эратосфеном в III веке до нашей эры.

2) Утверждение 2 неверно. Существует бесконечное количество составных чисел. Составные числа - это числа, которые имеют более 2-х делителей.

3) Утверждение 3 неверно. Для последовательных простых чисел p1, …, pn число P=p1…pn+1 не является гарантированно простым. Например, пусть p1=2, p2=3, p3=5, тогда P=2*3*5+1=31, что является простым числом. Однако, если взять последовательность п1=2, p2=3, p3=5, p4=7, то P=2*3*5*7+1=211, что также является простым числом.

4) Утверждение 4 верно. Для простых чисел p1, …, pn число P=(p1…pn)2+1 не делится ни на одно из чисел p1, …, pn. Это можно показать путем разложения формулы на множители и доказательства того, что каждый множитель не делится на числа p1, …, pn.

5) Утверждение 5 неверно. Для последовательных простых чисел p1, …, pn число P=p1…pn−1 не является гарантированно простым. Например, пусть p1=2, p2=3, p3=5, тогда P=2*3*5-1=29, что является простым числом. Однако, если взять последовательность п1=2, p2=3, p3=5, p4=7, то P=2*3*5*7-1=209, что является составным числом.

6) Утверждение 6 верно. Для составных чисел a1, …, an число a1…an+1 также является составным. Если a1, …, an являются составными числами, значит они имеют делители, отличные от 1 и самих чисел. Если перемножить все эти числа, то получим число a1…an+1, которое также будет иметь делители, отличные от 1 и самих чисел, следовательно, является составным числом.

Совет: Для лучшего понимания простых и составных чисел, рекомендуется изучить основные определения и свойства данных чисел, а также ознакомиться с методами проверки чисел на простоту и разложением на множители.

Упражнение: Проверьте, являются ли следующие числа простыми или составными: 37, 50, 91, 113.