Какие интервалы демонстрируют выпуклость вверх (вниз) графика функции y=5x - sin2x?

Тема урока: График функции y=5x - sin2x и его выпуклость вверх или вниз

Пояснение:

Для установления направления выпуклости графика функции, нам необходимо проанализировать её вторую производную. Если вторая производная положительна на определенном интервале, то график функции выпуклый вверх на этом интервале. Если вторая производная отрицательна на интервале, то график функции выпуклый вниз на этом интервале.

Давайте проделаем эти шаги для функции y=5x - sin2x:

1. Вычислим первую производную функции.
y" = 5 - 2cos2x

2. Теперь найдем вторую производную путем дифференцирования первой производной.
y"" = -4sin2x

3. Рассмотрим знак второй производной на различных интервалах.
Если y"" > 0, то график функции выпуклый вверх.
Если y"" < 0, то график функции выпуклый вниз.

Теперь рассмотрим интервалы, на которых выпуклость изменяется:

a) Для y"" > 0:
- На интервалах, когда sin2x < 0, то есть когда x принадлежит к интервалам (-π/4, π/4) и (5π/4, 9π/4), график функции y=5x - sin2x выпуклый вверх.

b) Для y"" < 0:
- На интервалах, когда sin2x > 0, то есть когда x принадлежит к интервалам (π/4, 5π/4) и (9π/4, 13π/4), график функции y=5x - sin2x выпуклый вниз.

Это позволяет нам понять, на каких интервалах график функции y=5x - sin2x выпуклый вверх или вниз.

Доп. материал:
Для заданной функции y=5x - sin2x, график будет выпуклым вверх на интервалах (-π/4, π/4) и (5π/4, 9π/4), а выпуклым вниз на интервалах (π/4, 5π/4) и (9π/4, 13π/4).

Совет:
Для лучшего понимания и запоминания концепции выпуклости графика функции, рекомендуется изучить и понять процесс дифференцирования и его связь с выпуклостью.

Задание для закрепления:
Выясните, на каких интервалах график функции y=2x^2 + 3x - 1 выпуклый вверх, а на каких выпуклый вниз.