Какие есть точки экстремума у функции y=4x−8cosx на отрезке [-π/2;π] и каковы их свойства?

Тема: Точки экстремума функции

Объяснение: Чтобы найти точки экстремума функции y=4x−8cosx на заданном отрезке [-π/2;π], мы будем использовать производную функции. Производная показывает нам, как изменяется функция в каждой точке. Точки экстремума находятся там, где производная равна нулю или не существует.

Сначала найдем производную функции y=4x−8cosx. Для этого возьмем производные от каждого слагаемого по отдельности. Производная слагаемого 4x равна 4, а производная косинуса от x равна -8sinx. Таким образом, производная функции y равна 4-8sinx.

Затем приравняем производную к нулю и решим уравнение 4-8sinx = 0. Решение этого уравнения даст нам точки экстремума.

4-8sinx = 0
-8sinx = -4
sinx = 1/2

Мы знаем, что sinx = 1/2 при x = π/6 и x = 5π/6 на интервале [-π/2;π]. Подставим эти значения в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y.

При x = π/6
y = 4(π/6)−8cos(π/6) = 2π/3−8√3/2 ≈ -2.03

При x = 5π/6
y = 4(5π/6)−8cos(5π/6) = 10π/3−8(-√3/2) ≈ 15.40

Таким образом, на отрезке [-π/2;π] у функции y=4x−8cosx существуют две точки экстремума: (π/6, -2.03) и (5π/6, 15.40). В первой точке функция достигает локального минимума, а во второй точке - локального максимума.

Совет: Для лучшего понимания, как найти точки экстремума функции, рекомендуется изучить темы производных и приравнивания производных к нулю. Продолжайте практиковаться в решении подобных задач, чтобы повысить свою уверенность в этой теме.

Упражнение: Найдите точки экстремума функции y=2x^3−9x^2+12x на интервале [-2;2].