Какие должны быть размеры сторон прямоугольника, чтобы достичь наибольшей площади, если периметр огражденного участка

Тема: Максимизация площади прямоугольника при заданном периметре

Объяснение: Чтобы найти размеры сторон прямоугольника, при которых его площадь будет наибольшей при заданном периметре, нам нужно использовать метод дифференциального исчисления.

Пусть стороны прямоугольника обозначены как 'x' и 'y'. Мы знаем, что периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, поэтому у нас есть равенство: 2x + 2y = 60. Мы можем упростить это равенство, разделив обе части на 2: x + y = 30.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон: S = x * y.

Чтобы найти максимальную площадь, нам нужно найти экстремум функции площади относительно переменных 'x' и 'y'. Один из способов сделать это - это использовать метод подстановки. Из уравнения на периметр мы можем выразить 'y' через 'x': y = 30 - x.

Теперь мы можем выразить площадь как функцию одной переменной: S(x) = x * (30 - x).

Чтобы найти максимум этой функции площади, мы берем производную функции S(x) по переменной 'x' и приравниваем ее к нулю: S'(x) = 30 - 2x = 0. Решая это уравнение, мы найдем x = 15.

Теперь мы можем использовать это значение, чтобы найти соответствующее значение 'y': y = 30 - x = 30 - 15 = 15.

Итак, размеры сторон прямоугольника, при которых его площадь будет наибольшей при заданном периметре 60, равны 15 и 15.

Пример использования: Найдите размеры прямоугольника с максимальной площадью, если периметр равен 60.

Совет: Для более легкого понимания и применения этого метода, не забудьте всегда выписывать все уравнения и промежуточные выражения на каждом этапе решения. Рисуя схематичные изображения прямоугольников, можете также помочь себе визуализировать проблему и понять логику решения.

Упражнение: Найти размеры прямоугольника с максимальной площадью, если периметр равен 80.