Как найти значения x, удовлетворяющие уравнению sin2x-10sin^2(x/2+pi/8)+7=0?

Содержание вопроса: Решение уравнений с тригонометрическими функциями

Описание: Для решения данного уравнения с тригонометрическими функциями, мы можем использовать различные свойства тригонометрии и тригонометрические тождества.

Для начала, давайте заменим sin^2(x/2+pi/8) с помощью формулы двойного угла: sin^2(2a) = (1 - cos(4a))/2. Получим новое уравнение:

sin(2x) - 10[(1 - cos((x+pi/4)))/2] + 7 = 0.

Теперь, раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

sin(2x) - 5 + 5cos((x+pi/4)) + 7 = 0.

Перегруппируем слагаемые:

sin(2x) + 5cos((x+pi/4)) = -2.

Затем, используя тригонометрическую формулу суммы: sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), мы можем представить sin(2x) и cos((x+pi/4)) в виде суммы тригонометрических функций:

2sin(x)cos(x) + 5(cos(x)cos(pi/4) - sin(x)sin(pi/4)) = -2.

Продолжим упрощать:

2sin(x)cos(x) + 5(√2/2cos(x) - √2/2sin(x)) = -2.

Теперь, объединим подобные слагаемые и приведем уравнение к каноническому виду:

(2cos(x) - √2sin(x))sin(x) + (√2/2cos(x) - 5/2sin(x)) = -2.

Сокращаем выражения:

√2sin^2(x) + (√2/2 - 5/2)sin(x) + 2cos(x) + 0 = -2.

Мы получили квадратное уравнение относительно sin(x) с коэффициентами:

a = √2, b = (√2/2 - 5/2), c = 2.

Теперь мы можем решить это уравнение с помощью квадратного трехчлена или подставить значения a, b и c в формулу квадратного корня, чтобы найти значения sin(x).

Дополнительный материал: Найдите значения x, удовлетворяющие уравнению sin2x-10sin^2(x/2+pi/8)+7=0.

Совет: При решении уравнений с тригонометрическими функциями, полезно использовать тригонометрические формулы, тригонометрические тождества и упрощения выражений, чтобы свести уравнение к более простому виду.

Задача для проверки: Решите уравнение cos(3x) + sin^2(x) = 2 для x на интервале [0, 2π].

Суть вопроса: Решение уравнения с тригонометрическими функциями

Инструкция: Для решения данного уравнения с тригонометрическими функциями, мы будем использовать несколько шагов.

1. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Первым шагом заменим `sin^2(x/2)` на `1 - cos(x)/2` и `sin(2x)` на `2sin(x)cos(x)`. Теперь получим: `2sin(x)cos(x) - 10(1 - cos(x)/2 + pi/8)^2 + 7 = 0`.

2. Раскроем квадрат скобок во втором слагаемом. Таким образом, получим: `2sin(x)cos(x) - 10(1 - 2cos(x)/2 + pi/8) + 7 = 0`.

3. Упростим полученное уравнение, раскрыв скобки: `2sin(x)cos(x) - 10(1 - cos(x) + pi/4) + 7 = 0`.

4. Раскроем скобки во втором слагаемом: `2sin(x)cos(x) - 10 + 10cos(x) - 5pi + 28 = 0`.

5. Сгруппируем слагаемые: `2sin(x)cos(x) + 10cos(x) - 5pi + 18 = 0`.

6. Факторизуем полученное уравнение: `cos(x)(2sin(x) + 10) - 5pi + 18 = 0`.

7. Найдем значения `x`, удовлетворяющие уравнению.

a. Первое решение возникает, когда `cos(x) = 0`. Решаем уравнение `cos(x) = 0` и находим `x = pi/2 + kpi`, где `k` - любое целое число.

b. Второе решение возникает, когда `2sin(x) + 10 = 0`. Решаем уравнение `2sin(x) + 10 = 0` и находим `x = arcsin(-5) + kpi`, где `arcsin(-5)` - обратная функция синуса.

Например: Найдите значения `x`, удовлетворяющие уравнению `sin^2x - 10sin^2(x/2+pi/8) + 7 = 0`.

Совет: Перед приступлением к решению уравнения с тригонометрическими функциями, рекомендуется убедиться в том, что вы знакомы с основными тригонометрическими тождествами и умеете их применять. Если вам необходимо, повторите эти тождества и изучите методы решения уравнений с тригонометрическими функциями.

Дополнительное задание: Найдите значения `x`, удовлетворяющие уравнению `2cos^2(x) - 6cos(x) + 3 = 0`.