Как найти решение уравнения [tex](4 sin ^{2}x - 1) sqrt{x^{2} - 64 pi ^{2} } = 0[/tex]?

Уравнение синуса
Обратимся к данному уравнению и попытаемся найти его решение.

У нас есть следующее уравнение:
[tex](4 \sin ^{2}x - 1) \sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2} } = 0[/tex]

Наша задача состоит в том, чтобы найти значения угла [tex]x[/tex], при которых это уравнение выполняется.

Разобьем уравнение на две части, подставив каждый множитель в отдельности равным нулю, чтобы решить каждую часть отдельно.

Таким образом, мы получаем два уравнения:

1) [tex]4 \sin ^{2}x - 1 = 0[/tex]
2) [tex]\sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2} } = 0[/tex]

Решим первое уравнение:
[tex]4 \sin ^{2}x - 1 = 0[/tex]
[tex]4 \sin ^{2}x = 1[/tex]
[tex]\sin ^{2}x = \frac{1}{4}[/tex]

Чтобы найти значения угла [tex]x[/tex], удовлетворяющие этому уравнению, возьмем квадратный корень обеих сторон:
[tex]\sin x = \sqrt{\frac{1}{4}}[/tex]
[tex]\sin x = \pm \frac{1}{2}[/tex]

Теперь решим второе уравнение:
[tex]\sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2} } = 0[/tex]

В данном случае у нас имеется равенство корня к нулю, что означает, что значение под корнем должно быть равно нулю:
[tex]x^{2} - 64\pi ^{2} = 0[/tex]

Решим это уравнение:
[tex]x^{2} = 64\pi ^{2}[/tex]
[tex]x = \pm 8\pi[/tex]

Таким образом, у нас есть несколько решений для данного уравнения:

1) [tex]\sin x = \frac{1}{2}[/tex] <=> [tex]x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k[/tex] или [tex]x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k[/tex]
2) [tex]\sin x = -\frac{1}{2}[/tex] <=> [tex]x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k[/tex] или [tex]x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k[/tex]
3) [tex]x = 8\pi[/tex] или [tex]x = -8\pi[/tex]

где [tex]k[/tex] - это целое число.

Совет: Когда сталкиваетесь с подобным уравнением, всегда требуется разделить его на несколько частей, чтобы решить каждую из них отдельно. При этом, обратите внимание на различные возможности, такие как нахождение корней, решение тригонометрических уравнений или оценка подходящих значений переменной.

Задание для закрепления: Решите уравнение [tex](2 \cos ^{2}x - 3) \sqrt{16 - x^{2}} = 0[/tex].