Как найти решение уравнения sin5xsin6x = -cos11x?

Тема: Решение уравнений с тригонометрическими функциями

Инструкция: Для решения данного уравнения sin5xsin6x = -cos11x, мы будем использовать тригонометрические идентичности и алгебраические преобразования.

1. Приведем все тригонометрические функции к одной функции. Используя идентичность sin2θ = 2sinθcosθ, мы можем разложить sin5x и sin6x:
sin5xsin6x = (2sin2(5x/2)cos(5x/2))(2sin2(6x/2)cos(6x/2))
= 4sin(5x/2)sin(6x/2)cos(5x/2)cos(6x/2)

2. После раскрытия, мы имеем:
4(sin(5x/2)cos(5x/2))(sin(6x/2)cos(6x/2))
= 4(sin(5x/2)cos(5x/2))(sin(3x)cos(3x))

3. Заменим cos(3x) с помощью идентичности cos2θ = 1 - 2sin^2θ:
4(sin(5x/2)cos(5x/2))(1 - 2sin^2(3x))

4. Мы также можем заменить sin^2(3x) с помощью идентичности sin2θ = 2sinθcosθ:
4(sin(5x/2)cos(5x/2))(1 - 2(2sin(3x)cos(3x))^2)
= 4(sin(5x/2)cos(5x/2))(1 - 8sin^2(3x)cos^2(3x))

5. Заменим sin^2(3x)cos^2(3x) с помощью идентичности sin^2θ = 1 - cos^2θ:
4(sin(5x/2)cos(5x/2))(1 - 8(1 - cos^2(3x))cos^2(3x))

6. Пусть u = cos(3x), тогда уравнение будет иметь вид:
4(sin(5x/2)cos(5x/2))(1 - 8(1 - u^2)u^2) = -u

7. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
4(sin(5x/2)cos(5x/2))(8u^4 - 8u^2 + 1) + u = 0

8. Мы получили квадратное уравнение относительно u. Решим его:

32u^4 - 32u^2 + 4u + u = 0
32u^4 - 31u^2 + 5u = 0

Разложим на множители:
u(32u^3 - 31u + 5) = 0

Решим уравнение в скобках численными методами или графически.

После нахождения значения u, мы можем найти x, используя обратную замену х = arccos(u)/3.

Демонстрация: Решите уравнение sin5xsin6x = -cos11x.

Совет: При решении уравнений с тригонометрическими функциями, помните об использовании тригонометрических идентичностей и алгебраических преобразований для упрощения выражений.

Задача для проверки: Решите уравнение cos^2(2x) = sin^2(2x) для диапазона 0 <= x <= 2π.