Как найти первообразную функции f(x) = 6/5√(4x+2) + 1/cos^2(5x) в общем виде?

Тема занятия: Нахождение первообразной функции

Разъяснение:

Для нахождения первообразной функции данной функции f(x) = 6/5√(4x+2) + 1/cos^2(5x) в общем виде, мы будем использовать метод интегрирования по частям и тригонометрические замены. Процесс состоит из нескольких шагов:

1. Выражаем комплексное выражение вида √(4x+2) в виде (4x+2)^(1/2).
2. Выразим 1/cos^2(5x) с использованием тригонометрической замены: делаем замену cos^2(5x) = 1 - sin^2(5x).

После этих преобразований мы можем приступить к нахождению первообразной функции. Итак, пошаговое решение:

1. Интегрирование ∫(4x+2)^(1/2) dx: Сделаем замену u = 4x+2, тогда du = 4dx. Получаем ∫(1/4)u^(1/2) du.
Интегрирование этого выражения дает (2/3)(4x+2)^(3/2) + C1.

2. Интегрирование ∫(1 - sin^2(5x)) dx: Используем формулу тригонометрии sin^2θ + cos^2θ = 1.
После применения замены и использования формулы получаем ∫(1 - sin^2(5x)) dx = ∫cos^2(5x) dx = (1/5)∫(1 - cos^2(5x)) dx.
Мы можем интегрировать (∫(1 - cos^2(5x)) dx), так как это является стандартной формой интеграла.
Получаем (1/5)(x - sin(5x)cos(5x)) + C2.

Объединяя результаты для двух компонентов исходной функции, получаем общую первообразную функцию F(x) = (2/3)(4x+2)^(3/2) + (1/5)(x - sin(5x)cos(5x)) + C, где C = C1 + C2.

Пример:
Найдите первообразную функцию для f(x) = 6/5√(4x+2) + 1/cos^2(5x) в общем виде.

Совет:
Для успешного нахождения первообразной функции рекомендуется быть хорошо знакомым с методами интегрирования, особенно методом интегрирования по частям и тригонометрическими заменами.

Проверочное упражнение:
Найдите первообразную функцию для f(x) = 3/x + 5sin(2x) в общем виде.