Как найти матрицу линейного оператора A в базисе g, если дана известная матрица линейного оператора A в базисе

Матрица линейного оператора в разных базисах

Объяснение:

Для нахождения матрицы линейного оператора А в базисе g, когда дана матрица линейного оператора А в базисе f, нужно выполнить следующие шаги:

1. Представить базис g в виде линейной комбинации базиса f. Пусть каждый вектор базиса g можно представить в виде суммы произведений его координат на соответствующие векторы базиса f. Обозначим это как: g = [f1, f2, ..., fn][a1, a2, ..., an]^T, где g - базис g, f - базис f, а a - вектор координат.

2. Выразить каждый вектор базиса g через базис f и матрицу линейного оператора A в базисе f. Пусть каждый вектор базиса g в базисе f можно представить в виде матричного произведения: [Ag]f = A[f1, f2, ..., fn].

3. Составить матрицу линейного оператора A в базисе g, используя полученное выражение векторов базиса g в базисе f. Координаты столбцов матрицы A в базисе g будут равны координатам соответствующих векторов базиса g в базисе f.

Демонстрация:
Пусть дана матрица линейного оператора А в базисе f: A_f = [[1, 2], [3, 4]].
Также дан базис f: f = [[1, 0], [0, 1]]. Необходимо найти матрицу линейного оператора А в базисе g.

Представляем базис g в виде линейной комбинации базиса f: g = f * [a1, a2]^T.

Выражаем каждый вектор базиса g через базис f и матрицу линейного оператора A в базисе f: A * g = A * (f * [a1, a2]^T) = (A * f) * [a1, a2]^T.

Составляем матрицу линейного оператора A в базисе g: A_g = A * f = [[1, 2], [3, 4]].

Совет: Для лучшего понимания материала и выполнения данного задания, рекомендуется ознакомиться с принципами линейной алгебры, включая понятия базиса и матриц линейных операторов.

Задача на проверку: Пусть даны матрица линейного оператора А в базисе f: A_f = [[2, 1], [1, 3]]. Базис f равен: f = [[1, 0], [0, 1]]. Найдите матрицу линейного оператора А в базисе g, если базис g равен: g = [[1, 1], [1, -1]].