Как изменится матрица перехода между базисами, если поменять местами два вектора в первом базисе? с обоснованием

Матрица перехода между базисами - это матрица, которая позволяет перейти от координат одного базиса к координатам другого базиса. Для решения данной задачи, вспомним как строится матрица перехода.

Пусть у нас есть два базиса векторного пространства: старый базис, обозначим его как S, и новый базис, обозначим его как T. Пусть старый базис состоит из векторов s1, s2, ..., sn, а новый базис - из векторов t1, t2, ..., tn.

Матрица перехода от старого базиса к новому базису A состоит из столбцов, где каждый столбец представляет собой координаты соответствующего вектора нового базиса в старом базисе. То есть каждый столбец A состоит из координат векторов t1, t2, ..., tn в базисе s1, s2, ..., sn.

Теперь, если мы поменяем местами два вектора s1 и s2 в старом базисе, то матрица перехода A также изменится. Столбцы матрицы A, соответствующие векторам t1 и t2 в новом базисе, будут поменяны местами.

Таким образом, изменение матрицы перехода будет выражаться в перестановке столбцов, соответствующих переставленным векторам в новом базисе.

Демонстрация:
Пусть у нас есть старый базис S = {(1, 0), (0, 1)} и новый базис T = {(2, 1), (1, 2)}. Матрица перехода от S к T равна A = [(2, 1), (1, 2)]. Если поменять местами векторы базиса S, то получим новый базис S" = {(0, 1), (1, 0)}. Тогда матрица перехода от S" к T будет равна B = [(1, 2), (2, 1)].

Совет: Для лучшего понимания концепции матрицы перехода между базисами, рекомендуется также изучить понятия линейной зависимости и линейной независимости векторов, а также преобразования векторов в координатной форме.

Ещё задача:
Пусть у нас есть старый базис S = {(1, 0), (0, 1)} и новый базис T = {(3, 2), (2, 3)}. Найдите матрицу перехода от S к T и обратную к ней матрицу перехода от T к S. Убедитесь, что произведение этих двух матриц является единичной матрицей.