Как изменить дифференциальное уравнение y²-2xy)dx+x²dy=0?

Тема занятия: Изменение дифференциальных уравнений

Объяснение: Для изменения данного дифференциального уравнения y²-2xy)dx+x²dy=0, нам потребуется применить некоторые преобразования. В данном случае, мы имеем уравнение в общей форме первого порядка, то есть уравнение видной ydx+xdy=0.

Чтобы изменить это уравнение, мы можем использовать метод подстановки, связанный с введением новой переменной. Рассмотрим замену u = xy. Запишем уравнение в терминах новой переменной:

ydx+xdy = d(u)

Дифференцируя u по x и y, мы можем найти производные:

du/dx = y+xdy/dx
du/dy = x+xdy/dy

Перезапишем наше уравнение с использованием новых переменных:

du = (y+xdy/dx)dx + (x+xdy/dy)dy

Подставив значения производных, получаем:

du = ydx + xdy + ydxdx + xdydy

Избавимся от дополнительных слагаемых (ydxdx и xdydy), поскольку они достаточно малы и мало влияют на уравнение:

du = ydx + xdy

Таким образом, измененное дифференциальное уравнение будет иметь вид du = ydx + xdy.

Например: Измените следующее дифференциальное уравнение: y²-2xy)dx+x²dy=0.

Совет: При решении дифференциальных уравнений, особенно при использовании метода подстановки, важно проводить алгебраические преобразования с осторожностью и вниманием к каждому шагу. Отдельные слагаемые могут быть пропущены, что может привести к неверному результату.

Закрепляющее упражнение: Измените дифференциальное уравнение 2xydx + (x²-y²)dy = 0.