Исследуйте монотонность и экстремумы функции y=x-1/3(2+7x)^6/7 на интервале (15; 20) и найдите ее наибольшие

Тема: Исследование монотонности и экстремумов функции

Пояснение:

Для исследования монотонности функции y=x-1/3(2+7x)^6/7 на интервале (15; 20) и поиска ее наибольших и наименьших значений, мы должны выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите первую производную функции, которая даст нам информацию о возрастании или убывании функции на заданном интервале. Для этого возьмем производную функции y по переменной x с использованием правила дифференцирования сложной функции и правила дифференцирования степенной функции.

Шаг 2: Решите уравнение первой производной равное нулю. Это позволит нам найти точки экстремума функции.

Шаг 3: Используйте вторую производную там, где это необходимо, чтобы подтвердить, является ли найденная точка экстремума максимумом или минимумом.

Шаг 4: Проверьте крайние точки интервала (15; 20), чтобы увидеть, имеют ли они наибольшие или наименьшие значения функции.

Пример использования:
Данная задача требует математических расчетов, поэтому я могу предоставить вам только решение, а не пояснение каждого шага.

Находим первую производную:
y' = -1/7(2+7x)^(-1/7) * 7 = -(2+7x)^(-1/7)

Находим точки экстремума:
-(2+7x)^(-1/7) = 0
(2+7x)^(-1/7) = 0
2+7x = 0
7x = -2
x = -2/7
Таким образом, точка экстремума x = -2/7

Находим вторую производную:
y'' = (1/7)(2+7x)^(-8/7)

Подставляем x = -2/7 во вторую производную:
(1/7)(2+7(-2/7))^(-8/7) = (1/7)(2 - 2) = 0
Значит, точка экстремума x = -2/7 является минимумом функции.

Проверяем краевые точки интервала (15; 20):
y(15) = 15 - 1/3(2+7(15))^6/7
y(20) = 20 - 1/3(2+7(20))^6/7

Совет:
Для лучшего понимания исследования монотонности и экстремумов функций, рекомендую углубиться в изучение дифференциального исчисления и правил дифференцирования.

Упражнение:
Исследуйте монотонность функции y = x^3 - 3x^2 на интервале (-∞, +∞) и найдите ее наибольшие и наименьшие значения.