Find the solutions of the equation cos(2x) - 5√2cos(x) - 5 = 0 in the interval [-3π, -3π/2

Предмет вопроса: Решение тригонометрического уравнения

Пояснение: Для решения данного тригонометрического уравнения нам понадобится использовать trigonometric identities и алгебруические методы.

1. Преобразуем данное уравнение, чтобы получить удобный вид: cos(2x) - 5√2cos(x) - 5 = 0.

2. Используем тригонометрическую формулу cos(2x) = 2cos^2(x) - 1, чтобы заменить cos(2x) в уравнении: 2cos^2(x) - 1 - 5√2cos(x) - 5 = 0.

3. Перенесем все члены в левую часть уравнения: 2cos^2(x) - 5√2cos(x) - 6 = 0.

4. Решим полученное квадратное уравнение с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или квадратного уравнения: (2cos(x) + 1)(cos(x) - 6) = 0.

5. Приравняв каждый множитель к нулю, получим два возможных решения для угла x: 2cos(x) + 1 = 0 и cos(x) - 6 = 0.

6. Решим первое уравнение: 2cos(x) + 1 = 0.
- Вычтем 1 с обеих сторон уравнения: 2cos(x) = -1.
- Разделим обе части уравнения на 2: cos(x) = -1/2.
- Пользуясь таблицей значений тригонометрических функций, найдем все углы, у которых cos(x) равен -1/2 в заданном интервале [-3π, -3π/2].
- Подходящим значением будет x = -2π/3 (соответствующий cos(-2π/3) = -1/2).

7. Решим второе уравнение: cos(x) - 6 = 0.
- Прибавим 6 с обеих сторон уравнения: cos(x) = 6.
- Так как значения cos(x) должны быть в диапазоне [-1, 1], данное уравнение не имеет решений в заданном интервале.

Пример: Найдите все решения уравнения cos(2x) - 5√2cos(x) - 5 = 0 в интервале [-3π, -3π/2].

Совет: В задачах с тригонометрическими уравнениями полезно знать основные значения тригонометрических функций и их графики, чтобы определить диапазоны значений функций в заданных интервалах. Используйте таблицы значений тригонометрических функций и тренажеры для отработки навыков решения таких уравнений.

Ещё задача: Решить уравнение 3sin(2x) + 2cos(x) = 0 в интервале [0, 2π].