Равенство 2,999
Докажите равенство 2,999... = 3. Предположим, что x = 2,(9). Тогда 10x = 29,(9), откуда 9x = 27, и x = 3. Аналогично
Докажите равенство 2,999... = 3. Предположим, что x = 2,(9). Тогда 10x = 29,(9), откуда 9x = 27, и x = 3. "Аналогично можно доказать, что любое конечное десятичное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби с периодом 0 или с периодом 9. Например, 1,75 = 1,75000... = 1,74999..., -0,2 = -0,2000... = -0,199999 В дальнейшем мы договоримся не использовать бесконечные десятичные дроби с периодом 9. Вместо них будем записывать конечные десятичные числа или бесконечные десятичные дроби с периодом 0. Например, 5,2999... = 5,30000... = 5,3. Пожалуйста, дайте ответ."
16.12.2023 23:16
Написать свой ответ:
Инструкция: Для доказательства равенства 2,999... = 3, мы можем использовать следующий подход. Допустим, что x = 2,999... - бесконечная десятичная дробь, состоящая из числа 2, с последующим бесконечным числом девяток.
Мы можем умножить обе части равенства на 10, чтобы избавиться от бесконечного количества девяток после запятой. Тогда получим 10x = 29,999... - такая же бесконечная десятичная дробь, но с числом 29 перед последующим бесконечным количеством девяток.
Теперь, вычтем из 10x само x: 10x - x = 29,999... - 2,999... Получим 9x = 27.
Теперь мы можем поделить обе части равенства на 9, чтобы найти значение x: 9x / 9 = 27 / 9. Получим x = 3.
Итак, мы доказали, что число x, которое представляет бесконечную десятичную дробь 2,999..., равно 3. Таким образом, равенство 2,999... = 3 является верным.
Демонстрация: Докажите равенство 0,999... = 1.
Совет: Чтобы легче понять связь между числами вида 0,999... и 1, можно рассмотреть следующее: представим число x как 0,999... и вычтем его из 1. Получим 1 - 0,999... = 0,000... = 0. Поэтому число 0,999... должно быть равно 1.
Упражнение: Докажите равенство 0,333... = 1/3.