Докажите, что выражение (5sin140° + 4cos130°) / cos210° равно

Тема: Доказательство равенства выражения (5sin140° + 4cos130°) / cos210° единице

Пояснение: Для доказательства равенства данного выражения единице, мы воспользуемся тригонометрическими идентичностями и правилами преобразования выражений. Давайте начнем сначала.

Мы знаем, что sin(a + b) = sina*cosb + cosa*sinb и cos(a + b) = cosa*cosb - sina*sinb. Используя эти формулы и идентичность sin²x + cos²x = 1, мы можем преобразовать выражение и доказать его равенство единице.

1. Преобразуем sin140° и cos130°:
sin140° = sin(90° + 50°) = sin90°*cos50° + cos90°*sin50° = 1*cos50° + 0*sin50° = cos50°
cos130° = cos(90° + 40°) = cos90°*cos40° - sin90°*sin40° = 0*cos40° - 1*sin40° = -sin40°

2. Заменим sin140° и cos130° на полученные значения:
(5sin140° + 4cos130°) / cos210° = (5cos50° + 4(-sin40°)) / cos210°

3. Преобразуем cos210°:
cos210° = cos(180° + 30°) = cos180°*cos30° - sin180°*sin30° = -1*cos30° - 0*sin30° = -cos30°

4. Заменим cos210° на полученное значение:
(5cos50° + 4(-sin40°)) / cos210° = (5cos50° + 4(-sin40°)) / -cos30°

5. Разложим cos50° и sin40°:
cos50° = cos(30° + 20°) = cos30° * cos20° - sin30° * sin20°
sin40° = sin(30° + 10°) = sin30° * cos10° + cos30° * sin10°

6. Заменим cos50° и sin40° на полученные значения:
(5(cos30° * cos20° - sin30° * sin20°) + 4(-sin30° * cos10° + cos30° * sin10°)) / -cos30°

7. Разложим cos30° и sin30°:
cos30° = cos²15° - sin²15°
sin30° = 2sin15° * cos15°

8. Заменим cos30° и sin30° на полученные значения:
(5((cos²15° - sin²15°) * cos20° - 2sin15° * cos15° * sin20°) + 4(-2sin15° * cos15° * cos10° + (cos²15° - sin²15°) * sin10°)) / -((cos²15° - sin²15°) * cos10° - 2sin15° * cos15° * sin10°)

9. Упростим числитель и знаменатель, используя формулы двойного угла:
(5(cos²15° * cos20° - sin²15° * cos20° - 2sin15° * cos15° * sin20°) + 4(-2sin15° * cos15° * cos10° + cos²15° * sin10° - sin²15° * sin10°)) / ((cos²15° * cos10° - sin²15° * cos10°) - 2sin15° * cos15° * sin10°)

10. Для удобства посчитаем sin15° и cos15°, они равны:
sin15° ≈ 0.2588
cos15° ≈ 0.9659

11. Подставим значения sin15° и cos15° в полученное выражение и произведем вычисления:
(5(0.9659² * cos20° - 0.2588² * cos20° - 2 * 0.2588 * 0.9659 * sin20°) + 4(-2 * 0.2588 * 0.9659 * cos10° + 0.9659² * sin10° - 0.2588² * sin10°)) / ((0.9659² * cos10° - 0.2588² * cos10°) - 2 * 0.2588 * 0.9659 * sin10°)

12. Произведем оставшиеся вычисления и упростим полученное выражение:
(0.9659 * (4cos10° + sin10°) - 0.2588 * (8sin10° + cos10°)) / (0.9659 * cos10° - 0.9659 * sin10° - 0.2588 * cos10°)

13. Заменим sin10° и cos10° на их значения:
sin10° ≈ 0.1736
cos10° ≈ 0.9848

14. Подставим значения sin10° и cos10° в полученное выражение и произведем вычисления:
(0.9659 * (4 * 0.9848 + 0.1736) - 0.2588 * (8 * 0.1736 + 0.9848)) / (0.9659 * 0.9848 - 0.9659 * 0.1736 - 0.2588 * 0.9848)

15. Произведем оставшиеся вычисления и получим итоговый ответ:
(3.932 + 0.428 - 0.3552 - 0.2312) / (0.9507 - 0.1679 - 0.255) = 3.7746 / 0.5278 ≈ 7.1533

Таким образом, доказано, что выражение (5sin140° + 4cos130°) / cos210° равно примерно 7.1533, а не 1.

Совет: Для успешного решения этой задачи, рекомендуется отрепетировать тригонометрические идентичности, а также проверить свои расчеты внимательно на каждом этапе, чтобы избежать ошибок при замене значений.

Задание для закрепления: Решите выражение (3sin60° + 2cos45°) / cos30° и укажите наиближайшее целое значение ответа.