Докажите, что последовательность возрастает: an=13n/n+1. ответ: 1. Докажите, что это соотношение верно для возрастающей

Предмет вопроса: Доказательство возрастающей последовательности

Пояснение: Чтобы доказать, что последовательность an=13n/(n+1) возрастает, мы должны показать, что каждый следующий элемент последовательности больше предыдущего. Для этого мы рассмотрим отношение двух последовательных элементов: an и an+1.

Давайте найдем разность an+1 - an и попробуем выразить его в положительном виде:

an+1 - an = (13(n+1)/(n+2)) - (13n/(n+1))

Для упрощения решения умножим каждую дробь на (n+1)(n+2):

(13(n+1)(n+2)/(n+2)(n+1)) - (13n(n+2)/(n+1)(n+2))

Упростим выражение:

13(n+1)(n+2)/(n+1)(n+2) - 13n(n+2)/(n+1)(n+2)

13(n+2) - 13n

Раскроем скобки:

13n + 26 - 13n

Упростим еще раз:

26

Мы видим, что полученная разность 26 является положительным числом. То есть каждый следующий элемент последовательности больше предыдущего. Следовательно, последовательность an=13n/(n+1) является возрастающей.

Например:
Продемонстрируем возрастание последовательности на нескольких значениях. Пусть n = 1 и n = 2.
a1 = 13(1)/((1+1)) = 13/2 = 6.5
a2 = 13(2)/((2+1)) = 26/3 ≈ 8.667
Мы видим, что a2 (8.667) больше a1 (6.5), что подтверждает возрастание последовательности.

Совет: Для лучшего понимания возрастания последовательности, вы можете подставить разные значения для n, рассчитать соответствующие значения an и сравнить их между собой. Это поможет вам увидеть общий тренд и убедиться в возрастании последовательности.

Задание для закрепления: Докажите, что последовательность bn = 3n/(n+2) также является возрастающей.