Докажите, что когда две функции убывают, их композиция также является убывающей функцией

Содержание: Доказательство того, что композиция двух убывающих функций также является убывающей функцией.

Пояснение:
Для доказательства данного утверждения, нам необходимо показать, что при композиции двух убывающих функций результат также будет убывающей функцией. Пусть у нас имеются две функции f(x) и g(x), которые убывают на всей области определения.

Пусть y1 = f(g(x)) и y2 = f(g(x+h)), где h – произвольное положительное число. Нам нужно показать, что y1 > y2.

Так как функция f(x) убывает, то для любых двух аргументов u и v таких, что u > v, f(u) < f(v).

Аналогично, так как функция g(x) убывает, то для любых двух аргументов p и q таких, что p > q, g(p) < g(q).

Рассмотрим y1 = f(g(x)) и y2 = f(g(x+h)). Так как g(x) убывает, то из x > x+h следует, что g(x) < g(x+h). Из этого следует, что f(g(x)) > f(g(x+h)). Таким образом, композиция убывающих функций f(g(x)) является убывающей функцией.

Пример:
Пусть f(x) = -x и g(x) = x^2. Тогда композиция функций f(g(x)) = -(x^2).
Мы можем видеть, что f(x) и g(x) оба убывают. Если мы возьмем любые два значения x1 и x2, такие что x1 > x2, то значение f(g(x1)) всегда будет меньше, чем f(g(x2)). Таким образом, композиция функций f(g(x)) также является убывающей функцией.

Совет:
Для лучшего понимания данной темы, рекомендуется ознакомиться с определением и свойствами убывающих функций. Также полезно разобраться в общих принципах композиции функций и применять их при решении задач.

Задача для проверки:
Докажите, что композиция двух возрастающих функций также является возрастающей функцией.