Вариант 1: Ответьте на следующие вопросы: а) Каково значение синуса угла 300∘? б) Каково значение тангенса угла -2π/3?

Тема: Тригонометрические функции

Объяснение:
а) Для нахождения значения синуса угла 300∘, нам необходимо знать значения синуса для углов, кратных 30∘. Синус 300∘ соответствует синусу угла 60∘, так как эти углы смежные и лежат на общей стороне оси x. Значение синуса 60∘ равно 0,5.

б) Значение тангенса угла -2π/3 можно найти, используя связь между тангенсом и синусом. Так как угол -2π/3 находится в третьем квадранте, его синус будет отрицательным и равным синусу угла π/3. Значение синуса π/3 равно √3/2. Следовательно, значение тангенса угла -2π/3 будет равно -√3.

в) Чтобы найти значение выражения 2sin(π/3) - cos(π/2), мы заменяем значения синуса и косинуса на их аналитические выражения. Так как sin(π/3) = √3/2 и cos(π/2) = 0, подставляя эти значения, получаем: 2(√3/2) - 0 = √3.

Для нахождения значений синуса и тангенса угла α, если косинус α равен -0,6 и α находится в интервале от π/2 до π, нам необходимо использовать соотношение между тригонометрическими функциями. Так как косинус α= -0,6, мы можем использовать формулу sin^2(α) + cos^2(α) = 1, чтобы найти синус α. Используя эту формулу и значение косинуса, находим, что sin α = √(1 - cos^2α) = √(1 - (-0,6)^2). Значение синуса будет положительным, так как α находится во втором квадранте. Затем, чтобы найти тангенс α, мы используем формулу tg α = sin α / cos α.

Для нахождения значений выражений sin(π+α) + cos(3π/2-α), tg(π/2+α) - ctg(2π-α), cos(2α) + 2sin(π-α), sin(α+1) + cos(α) + sin(α+1) - cos(α), мы заменяем значения функций на известные значения синуса и косинуса угла α и выполняем требуемые операции.

Доказательство тождества cos^2(α) + tg^2(α) - sin^2(α) = cos^2(α) можно выполнить, используя определения тригонометрических функций исходя из того, что tg α = sin α / cos α, cos^2 α = 1 - sin^2 α. Затем, мы подставляем эти значения в данное тождество и выполняем расчеты.

Пример использования:
а) sin 300∘ = sin 60∘ = 0,5.
б) tg(-2π/3) = tg(π/3) = -√3.
в) 2sin(π/3) - cos(π/2) = 2(√3/2) - 0 = √3.
г) sin α = √(1 - (-0,6)^2), tg α = sin α / (-0,6).
д) sin(π+α) + cos(3π/2-α), tg(π/2+α) - ctg(2π-α), cos(2α) + 2sin(π-α), sin(α+1) + cos(α) + sin(α+1) - cos(α) - заменим значения функций и произведем требуемые операции.
е) cos^2(α) + tg^2(α) - sin^2(α) = cos^2(α) - (1 - cos^2(α)) - sin^2(α) - заменим значения функций и произведем расчеты.

Совет:
- Запомните основные значения синуса и косинуса для углов 0∘, 30∘, 45∘, 60∘, 90∘ и используйте их для нахождения значений других углов.
- Учите формулы и определения тригонометрических функций для более глубокого понимания темы.
- Практикуйтесь в решении различных задач и упражнений по тригонометрии.

Задание: Найдите значения синуса и тангенса угла β, если известно, что β равен 150∘, и косинус β равен 0,5. Вычислите значение выражения cos(2β) + 2sin(3π/2-β). Докажите тождество sin^2(β) + cos^2(β) = 1.