Докажите, что функция y=5e^3x удовлетворяет уравнению y =-2y

Тема: Доказательство, что функция y = 5e^3x удовлетворяет уравнению y' = -2y

Пояснение:
Для доказательства этого факта, нам нужно продифференцировать функцию y = 5e^3x по переменной x и затем сравнить полученное выражение с уравнением y' = -2y.

Давайте начнем с дифференцирования функции y = 5e^3x по x. Для этого мы используем правило дифференцирования экспоненциальной функции, которое гласит: d/dx(e^kx) = ke^kx.

Применяя это правило к функции y = 5e^3x, получаем:
dy/dx = d/dx(5e^3x) = 5 * d/dx(e^3x) = 5 * 3e^3x = 15e^3x.

Теперь посмотрим на уравнение y' = -2y. Заменим y на 5e^3x:
-2y = -2 * 5e^3x = -10e^3x.

Так как мы получили одинаковое выражение в левой и правой части уравнения, то функция y = 5e^3x действительно удовлетворяет уравнению y' = -2y.

Пример использования:
Предположим, что у нас есть функция y = 5e^3x, и нам нужно проверить, удовлетворяет ли она уравнению y' = -2y. Мы можем использовать доказательство, которое мы только что рассмотрели, чтобы показать, что это правда.

Совет:
Чтобы лучше понять эту тему, полезно вспомнить правила дифференцирования и экспоненциальные функции. Более конкретно, изучите правило дифференцирования экспоненциальной функции и понимайте, как применять его к различным экспоненциальным функциям.

Упражнение:
Проверьте, удовлетворяет ли функция y = 2e^4x уравнению y' = -8y.