Докажите, что если y=10/x, то y′=−10/x^2. Объясните последовательность шагов использованного доказательства. Затем
Докажите, что если y=10/x, то y′=−10/x^2. Объясните последовательность шагов использованного доказательства. Затем определите соотношение, используемое в доказательстве. И наконец, укажите, какое выражение справедливо для данного доказательства.
20.11.2023 06:36
Написать свой ответ:
Разъяснение:
Для задачи, дано y = 10/x и требуется доказать, что y′ = -10/x^2.
Для начала, необходимо взять производную функции y по переменной x. В данной задаче, производная - это показатель того, как быстро меняется функция при изменении переменной.
1. Чтобы взять производную функции y = 10/x, мы можем использовать правило дифференцирования частного. Для этого, мы берем производную числителя и производную знаменателя отдельно и применяем формулу: (f/g)′ = (f"g - fg")/g^2.
2. Дифференцируем числитель функции y. 10 по отдельности = 0 (производная константы равна нулю).
3. Теперь дифференцируем знаменатель функции y. x по отдельности = 1 (производная x равна 1).
4. Затем, мы используем формулу (f"g - fg")/g^2, чтобы найти производную функции y.
(f"g - fg")/g^2 = (0*x - 10*1)/x^2 = -10/x^2
5. Таким образом, мы доказали, что y" = -10/x^2.
Демонстрация: Рассмотрим, что функция y = 8/x. Какая будет производная этой функции?
Совет: Для понимания и доказательства производных функций, полезно хорошо понимать правила дифференцирования, включая правило дифференцирования частного. Регулярная практика решения задач по производным также поможет улучшить понимание этой темы.
Задача на проверку: Найдите производную функции y = 12/x^3.
Инструкция: Чтобы доказать данное утверждение, мы воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции и правилом дифференцирования частного. Первым шагом является нахождение производной функции y=10/x по правилу дифференцирования частного.
Производная функции y=10/x будет равна:
y" = (10*(d/dx)(x^(-1))) = (10*(-1)*(x^(-1-1))) = -10/x^2.
Мы использовали правило дифференцирования частного, в котором дифференциал числителя -1 и дифференциал знаменателя равен (-1)*(x^(-1-1)).
Соотношение:
Для доказательства использовалось соотношение d/dx (1/x) = -1/x^2, которое представляет собой правило дифференцирования частного.
Выражение:
Выражением, соответствующим данному доказательству, является утверждение y′=−10/x^2, которое показывает производную функции y=10/x.
Совет:
Для более лёгкого понимания дифференцирования обратной функции и правила дифференцирования частного, рекомендуется изучить основные правила дифференцирования и пройти через несколько примеров для закрепления материала.
Практика:
Найдите производную функции y = (3/x)^2.