Докажите, что для каждого натурального числа n, выполняется следующее уравнение: сумма арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия: Объяснение:

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается путем прибавления к предыдущему элементу одной и той же постоянной величины, называемой разностью. В данной задаче имеется арифметическая прогрессия с первым членом 1 и разностью 4.

Натуральное число n является количеством членов прогрессии. Мы должны доказать, что сумма этой арифметической прогрессии равна n * (3n - 1) / 2.

Для доказательства этого утверждения мы воспользуемся методом математической индукции, который состоит из двух шагов - базовый шаг и индукционный шаг.

Базовый шаг:
При n = 1 сумма арифметической прогрессии равна первому члену, то есть 1. Подставляя это значение в выражение n * (3n - 1) / 2, получаем (1 * (3 * 1 - 1)) / 2 = 1 * 2 / 2 = 1. Таким образом, базовый шаг выполняется.

Индукционный шаг:
Предположим, что утверждение выполняется для некоторого натурального числа k, то есть сумма арифметической прогрессии с первым членом 1, разностью 4 и k членами равна k * (3k - 1) / 2.
Докажем, что это утверждение также выполняется для (k + 1) членов.

Сумма арифметической прогрессии с первым членом 1, разностью 4 и (k + 1) членами будет равна сумме прогрессии с первыми k членами плюс (k + 1)-й член.
Из предположения индукции, сумма прогрессии с первыми k членами равна k * (3k - 1) / 2.

(k + 1)-й член можно выразить как 1 + разность * k (поскольку каждый следующий член получается прибавлением разности к предыдущему члену).
Подставим это выражение в сумму:

Сумма = k * (3k - 1) / 2 + (1 + 4k)
= (3k^2 - k + 2 + 4k) / 2
= (3k^2 + 3k + 2) / 2
= (k + 1) * (3(k + 1) - 1) / 2

Таким образом, утверждение выполняется и для (k + 1)-го члена.

Исходя из базового и индукционного шагов, мы доказали, что уравнение суммы арифметической прогрессии для каждого натурального числа n верно.

Совет:
При доказательстве утверждений в математике, особенно через математическую индукцию, важно обратить внимание на правильность формул, алгебраических преобразований и последовательности аргументов.

Задача для проверки:
Докажите, что сумма арифметической прогрессии с первым членом 3, разностью 2 и n членами равна n * (3 + 2n) / 2.

Решение:

Для начала давайте запишем формулу суммы арифметической прогрессии:

S_n = (n/2) * (2a + (n-1)d),

где S_n - сумма арифметической прогрессии с n членами, a - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.

В нашем уравнении первый член арифметической прогрессии равен 1, а разность равна 4. Подставим это в формулу:

S_n = (n/2) * (2*1 + (n-1)*4).

Упростим выражение:

S_n = (n/2) * (2 + 4n - 4).

S_n = (n/2) * (4n - 2).

S_n = (2n^2 - n) / 2.

S_n = n*(2n-1)/2.

Теперь давайте сравним полученную формулу с формулой из уравнения:

n*(2n-1)/2 = n*(3n-1)/2.

Таким образом, мы доказали, что для каждого натурального числа n, выполняется уравнение:

сумма арифметической прогрессии с первым членом 1, разностью 4 и n членами равна n*(3n-1)/2.

Например:
Пусть n = 5.
Тогда сумма арифметической прогрессии будет:
S_5 = 5*(3*5-1)/2 = 5*(15-1)/2 = 5*14/2 = 35.

Совет:
Для более легкого понимания формулы суммы арифметической прогрессии, рекомендуется разбить вычисления на несколько промежуточных шагов и внимательно следить за алгебраическими преобразованиями.

Задание:
Докажите, что для каждого натурального числа n, сумма арифметической прогрессии с первым членом 2, разностью 3 и n членами равна n*(4n-1)/2.