Докажите, что данное выражение неотрицательно для всех значений переменной: (a-b) (a-b-8) + 16. заранее

Доказательство:
Чтобы доказать, что данное выражение неотрицательно для всех значений переменной \(a\), нам нужно показать, что оно больше или равно нуля для любых значений \(a\) и \(b\).

Раскроем скобки в выражении:
\((a-b)(a-b-8) + 16\)

Объединим подобные слагаемые:
\( (a^2 - ab - ab + b^2 - 8a + 8b) + 16 \)

Упростим:
\( a^2 - 2ab + b^2 - 8a + 8b + 16 \)

Распишем первые три члена и последние два члена отдельно:
\( (a^2 - 2ab + b^2) - (8a - 8b) + 16 \)

Факторизуем:
\( (a - b)^2 - 8(a - b) + 16 \)

Заметим, что внутренние слагаемые \((a - b)\) совпадают. Давайте заменим \((a - b)\) на новую переменную \(x\):
\( x^2 - 8x + 16 \)

Это квадратное уравнение. Для того, чтобы показать, что оно неотрицательно для всех значений \(x\), нужно показать, что оно имеет неотрицательный дискриминант.

Дискриминант \(D\) для данного уравнения равен:
\(D = b^2 - 4ac\)
В нашем случае: \(a = 1, b = -8, c = 16\)
\(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0\)

Так как дискриминант \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень. Это означает, что \(x^2 - 8x + 16\) неотрицательно для всех значений \(x\).

Таким образом, мы доказали, что данное выражение \((a-b)(a-b-8) + 16\) неотрицательно для всех значений переменной \(a\).

Доп. материал:
Пусть \(a = 5\) и \(b = 2\). Тогда:
\((5-2)(5-2-8) + 16 = (3)(-5) + 16 = -15 + 16 = 1\)
Выражение равно 1, что является неотрицательным числом.

Совет:
Для более легкого понимания математических доказательств важно быть внимательным к каждому шагу и внимательно следить за логической цепочкой. Также полезно знать основные свойства алгебры, чтобы упростить доказательства и вычисления.

Упражнение:
Доказать, что выражение \((a-b)(a-b+8) - 16\) также неотрицательно для всех значений переменной \(a\).