Что такое коэффициент при а^3 в разложении выражения (а+1/a)^9, вычисленном по формуле бинома Ньютона?

Тема занятия: Коэффициент при а^3 в разложении выражения (а+1/a)^9

Разъяснение:
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона, которая позволяет разложить выражение вида (а+1/a)^n.

Формула бинома Ньютона имеет вид:

(а+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n .

Здесь C(n,k) обозначает биномиальный коэффициент и вычисляется по формуле: C(n,k) = n!/(k!*(n-k)!), где n! - это факториал числа n.

В нашем случае, разложение выражения (а+1/a)^9 будет иметь вид:

(а+1/a)^9 = C(9,0)*a^9*(1/a)^0 + C(9,1)*a^8*(1/a)^1 + C(9,2)*a^7*(1/a)^2 + ... + C(9,7)*a^2*(1/a)^7 + C(9,8)*a^1*(1/a)^8 + C(9,9)*a^0*(1/a)^9 .

Найдем коэффициент при a^3. Для этого нам понадобятся только слагаемые, где степень a равна 3.

Коэффициент при a^3 будет равен сумме слагаемых C(9,k)*а^(9-k)*(1/a)^k, где k принимает значения от 0 до 9 и степень a равна 9 - k.

Подставляя соответствующие значения, получим:

Коэффициент при a^3 = C(9,6)*a^6*(1/a)^3 + C(9,8)*a^1*(1/a)^2 + C(9,9)*a^0*(1/a)^3 .

Далее можно упростить выражение и рассчитать числовые значения биномиальных коэффициентов.

Дополнительный материал:
Найдем коэффициент при a^3 в разложении выражения (а+1/a)^9.

Решение:
Коэффициент при a^3 = C(9,6)*a^6*(1/a)^3 + C(9,8)*a^1*(1/a)^2 + C(9,9)*a^0*(1/a)^3 .

Коэффициент при a^3 = (9!/(6!*(9-6)!))*a^6*(1/a)^3 + (9!/(8!*(9-8)!))*a^1*(1/a)^2 + (9!/(9!*(9-9)!))*a^0*(1/a)^3 .

Коэффициент при a^3 = 84*a^6*(1/a)^3 + 9*a^1*(1/a)^2 + 1*a^0*(1/a)^3 .

Совет:
Для лучшего понимания задачи и применения формулы бинома Ньютона, рекомендуется изучить понятие биномиальных коэффициентов, а также основные свойства и правила работы с степенями.

Дополнительное задание:
Найдите коэффициент при a^3 в разложении выражения (а+1/a)^7, вычисленном по формуле бинома Ньютона.

Тема занятия: Разложение выражения (а+1/a)^9 и коэффициент при а^3

Описание:
Для решения данной задачи нам понадобится формула бинома Ньютона, которая выглядит следующим образом:

(a+b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,r) * a^(n-r) * b^r + ... + C(n,n) * a^0 * b^n.

Здесь C(n,r) обозначает биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!).

В данной задаче у нас есть выражение (а+1/a)^9, следовательно, a = a и b = 1/a.

Чтобы найти коэффициент при a^3, мы должны найти член разложения, в котором степень a равна 3. Коэффициент при этом члене будет искомым коэффициентом.

(Приведем разложение (а+1/a)^9 по формуле бинома Ньютона):

(a+1/a)^9 = C(9,0) * a^9 * (1/a)^0 + C(9,1) * a^8 * (1/a)^1 + C(9,2) * a^7 * (1/a)^2 + C(9,3) * a^6 * (1/a)^3 + ... + C(9,7) * a^2 * (1/a)^7 + C(9,8) * a^1 * (1/a)^8 + C(9,9) * a^0 * (1/a)^9.

(Решение примера):

Чтобы найти коэффициент при a^3, нам нужно найти член разложения, в котором степень a равна 3. В данном случае это:

C(9,3) * a^6 * (1/a)^3 = C(9,3) * a^6 * a^-3.

Сокращая a исходя из a^-3, получаем:

C(9,3) * a^(6-3) = C(9,3) * a^3.

Таким образом, коэффициент при a^3 будет равен C(9,3), то есть 84.

Совет:
Для лучшего понимания данной задачи рекомендуется ознакомиться с формулой бинома Ньютона и научиться применять ее для разложения выражений.

Закрепляющее упражнение:
Найдите коэффициент при a^4 в разложении выражения (а+1/a)^7, вычисленном по формуле бинома Ньютона.