Чему равно значение функции f(x)=x3−108x+402 в точке минимума (локального решения)?

Тема: Минимум и максимум функции

Объяснение:
Для решения данной задачи нам необходимо найти значение функции в точке минимума. Для этого мы должны найти производную функции и приравнять ее к нулю, чтобы найти точки экстремума.

В данном случае, нам дана функция f(x)=x^3−108x+402, и мы должны найти значение в точке минимума.

Шаги решения:
1. Найдем производную функции f(x): f"(x) = 3x^2 - 108.
2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: 3x^2 - 108 = 0.
3. Решим уравнение: 3x^2 = 108. Разделим обе части на 3: x^2 = 36.
4. Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения: x = ±6.
5. Из двух корней выбираем только тот, который дает точку минимума (локального экстремума). В данном случае, минимум будет в точке x = 6.

Теперь, чтобы найти значение функции в точке минимума, подставим x = 6 в исходную функцию:
f(6) = 6^3 - 108*6 + 402 = 216 - 648 + 402 = -30.

Таким образом, значение функции f(x) в точке минимума (локального решения) равно -30.

Совет:
При решении задач на поиск минимума или максимума необходимо всегда находить производную функции, приравнивать ее к нулю и решать полученное уравнение. Выбирайте только те корни, которые дадут точку минимума или максимума, в зависимости от задачи.

Проверочное упражнение:
Найдите значение функции f(x) = x^2 - 4x - 5 в точке максимума (локального решения).

Тема занятия: Значение функции в точке минимума

Пояснение: Чтобы найти значение функции в точке минимума (локального решения), нам необходимо сначала найти координаты этой точки. Для этого нам понадобится найти производную функции и приравнять ее к нулю. Когда производная равна нулю, это может указывать на наличие экстремумов в функции.

Для данной функции f(x) = x^3 - 108x + 402, найдем ее производную f"(x):
f"(x) = 3x^2 - 108

Затем приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x^2 - 108 = 0

Решая это уравнение, мы получим два значения x: x = -6 и x = 6. Эти значения указывают на две возможные точки экстремума.

Теперь, чтобы найти значение функции в точке минимума, мы должны подставить одно из найденных значений x обратно в исходную функцию f(x). Давайте возьмем x = 6:
f(6) = 6^3 - 108*6 + 402
f(6) = 216 - 648 + 402
f(6) = -30

Итак, значение функции f(x) в точке минимума (локального решения) x = 6 равно -30.

Совет: При решении задач на определение экстремумов функции, стоит обратить внимание на то, что точкам минимума соответствуют локальные минимумы, где функция имеет наименьшее значение в окрестности этой точки. Использование дифференциального исчисления и производных поможет найти эти точки.

Задача на проверку: Найдите значение функции g(x) = 2x^2 - 10x + 5 в точке минимума.