Чему равно 6sinθ - 2cosθ / sinθ - cosθ, если tgθ

Суть вопроса: Решение тригонометрического выражения с использованием тангенса

Инструкция: Дана задача на определение значения выражения 6sinθ - 2cosθ / sinθ - cosθ при условии, что tgθ = 5/12. Давайте посмотрим, как мы можем решить эту задачу.

Для начала, давайте заменим tgθ в исходном выражении на его эквивалентное значение, которое равно sinθ / cosθ. Заменив tgθ на sinθ / cosθ, мы получим новое выражение:

6sinθ - 2cosθ / sinθ - cosθ = 6sinθ - 2cosθ / sinθ - cosθ * cosθ / cosθ

В этом новом выражении, мы можем упростить числитель и знаменатель, домножив оба на cosθ:

= (6sinθ * cosθ - 2cosθ * cosθ) / (sinθ - cosθ * cosθ)

Упростив числитель, получим:

= (6sinθ * cosθ - 2cos²θ) / (sinθ - cos²θ)

Теперь, заменим значение tgθ на его эквивалент sinθ / cosθ:

= (6sinθ * cosθ - 2cos²θ) / (sinθ - (1 - sin²θ))

Заменим также значение sin²θ на 1 - cos²θ:

= (6sinθ * cosθ - 2cos²θ) / (sinθ - 1 + cos²θ)

Мы также знаем, что tgθ = sinθ / cosθ. Подставим это значение в исходное выражение:

5/12 = sinθ / cosθ

Из этого уравнения, мы можем определить sinθ, как 5, и cosθ, как 12. Теперь, подставим эти значения в наше новое выражение:

= (6 * 5 * 12 - 2 * 12²) / (5 - 1 + 12²)

= (360 - 288) / (5 - 1 + 144)

= 72 / 148

Демонстрация: Найдите значение выражения 6sinθ - 2cosθ / sinθ - cosθ при условии, что tgθ = 5/12.

Совет: Для решения данной задачи, важно знать эквивалентные значения тригонометрических функций, такие как tgθ = sinθ / cosθ и sin²θ = 1 - cos²θ. Используйте эти идентичности для упрощения выражений и нахождения значений.

Задача для проверки: Найдите значение выражения 4sinθ - 3cosθ / sinθ - cosθ, если tgθ = 2/7.