Чему равна производная функции f(x)=2x+ctgx в точке x0=π/6?

Название: Вычисление производной функции f(x)=2x+ctgx

Объяснение:

Для вычисления производной функции f(x), сначала найдем производную каждого слагаемого по отдельности, а затем сложим результаты.

При вычислении производной слагаемого 2x, мы используем правило производной линейной функции. По правилу, производная линейной функции равна коэффициенту при x. В данном случае, производная слагаемого 2x равна 2.

Для вычисления производной слагаемого ctgx, мы используем правило производной тригонометрической функции. Производная ctgx(x) равна -csc^2(x), где csc(x) - это косеканс.

Таким образом, производная функции f(x)=2x+ctgx равна сумме производных каждого слагаемого:
f"(x) = 2 + (-csc^2(x))

Для того, чтобы найти значение производной в точке x0=π/6, подставим значение x0 в выражение f"(x):
f"(π/6) = 2 + (-csc^2(π/6))

Для вычисления csc^2(π/6), мы можем использовать значение csc(π/6), которое равно 2/√3. Таким образом, csc^2(π/6) равно (2/√3)^2 = 4/3.

Подставив значения, получаем:
f"(π/6) = 2 + (-4/3) = 2 - 4/3 = 6/3 - 4/3 = 2/3

Таким образом, производная функции f(x)=2x+ctgx в точке x0=π/6 равна 2/3.

Совет:

- Для лучшего понимания процесса вычисления производной функции, рекомендуется изучить правила производных для различных типов функций, таких как линейные, тригонометрические, степенные и т.д.
- Важно быть внимательным при сокращении или упрощении выражений, чтобы избежать ошибок в вычислениях.

Проверочное упражнение:
Вычислите производную функции g(x) = 3x^2 - sin(x) в точке x0 = π/4.