Чему равен шестой член геометрической прогрессии, если первый член равен 243 и знаменатель равен -2/3? Какова сумма

Геометрическая прогрессия:

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

Пояснение:

Для нахождения шестого члена геометрической прогрессии с известным первым членом и знаменателем, мы можем воспользоваться формулой:
\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]
где:
- \(a_n\) - n-й член прогрессии,
- \(a_1\) - первый член прогрессии,
- \(q\) - знаменатель прогрессии,
- \(n\) - номер члена прогрессии, который мы ищем.

В данном случае у нас: \(a_1 = 243\), \(q = -\frac{2}{3}\), \(n = 6\).

Подставляя значения в формулу, получим:
\[a_6 = 243 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{(6-1)}\]

Вычисляя значение, получаем:
\[a_6 = 243 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^5\]

Решение:

\[a_6 = 243 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^5 = 243 \cdot \frac{32}{243} = 32\]

Таким образом, шестой член геометрической прогрессии равен 32.

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии:

Для расчета суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии с известными первым членом и знаменателем, мы можем использовать формулу:
\[S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q-1}\]
где:
- \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии,
- \(a_1\) - первый член прогрессии,
- \(q\) - знаменатель прогрессии,
- \(n\) - количество членов прогрессии, для которых мы находим сумму.

В данном случае у нас: \(a_1 = 243\), \(q = -\frac{2}{3}\), \(n = 6\).

Подставляя значения в формулу, получим:
\[S_6 = \frac{243\left(\left(-\frac{2}{3}\right)^6 - 1\right)}{-\frac{2}{3} - 1}\]

Вычисляя значение, получаем:
\[S_6 = \frac{243\left(\frac{64}{729} - 1\right)}{-\frac{2}{3} - 1} = \frac{243\left(\frac{64}{729} - \frac{729}{729}\right)}{-\frac{5}{3}}\]

Упрощая, получим:
\[S_6 = \frac{243\left(\frac{64-729}{729}\right)}{-\frac{5}{3}} = \frac{-162}{5}\]

Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна \(-\frac{162}{5}\).

Рекомендация:

Чтобы лучше понять геометрическую прогрессию, рекомендуется:
- Изучить основные формулы и правила для геометрической прогрессии.
- Попрактиковаться в решении различных задач с помощью этих формул.
- Обратить внимание на свойства геометрической прогрессии и их применения в реальных ситуациях.

Задание:

Найдите восьмой член геометрической прогрессии, если первый член равен 5, а знаменатель равен 2. Какова сумма первых восьми членов геометрической прогрессии?