А1. Wich of the following functions has a derivative equal to f(x) = 20x4? 1) F(x) = 4x5 2) F(x) =5x5 3) F(x)

A1: Определение производной функции f(x):
Производная функции f(x) показывает скорость изменения значения функции по отношению к ее аргументу x. Если у нас есть функция F(x), производная которой равна f(x), это означает, что скорость изменения значения F(x) в каждой точке равна значению f(x) в этой точке.

Решение A1:
Для решения этой задачи мы должны найти функцию, производная которой равна f(x) = 20x^4. Известно, что производная функции f(x) = x^n, где n - степень x, равна функции F(x) = nx^(n-1).

Таким образом, нахождение функции F(x), производная которой равна f(x) = 20x^4, будет заключаться в нахождении функции, где степень x будет на 1 меньше степени x в f(x). Таким образом, степень x в F(x) должна быть равна 4-1 = 3.

Исходя из этого, можем заключить, что функцией, производной которой является f(x) = 20x^4, является F(x) = 4x^3.

A2: Примитивная функция для f(x) = 4x^3 - 6:
Примитивная функция (интеграл) для f(x) позволяет нам определить исходную функцию F(x), производная которой равна f(x). Чтобы найти примитивную функцию для данной функции f(x) = 4x^3 - 6, нам нужно выполнить обратное действие дифференцирования, то есть проинтегрировать функцию f(x).

Решение A2:
Для нахождения примитивной функции f(x) = 4x^3 - 6, мы интегрируем каждый член функции по отдельности. Интеграл x^n равен [(x^(n+1))/(n+1)] + C, где C - константа интегрирования.

Интегрируя каждый член функции по отдельности, получим примитивную функцию F(x) = (4/4)x^4 - (6/1)x + C = x^4 - 6x + C.

Таким образом, общая форма примитивной функции для f(x) = 4x^3 - 6 будет F(x) = x^4 - 6x + C.

A3: Нахождение примитивной функции, проходящей через точку M(1; 4):
Чтобы найти примитивную функцию для данной функции f(x) = 8x - 3, проходящую через точку M(1; 4), мы должны использовать начальные условия, чтобы найти значение постоянной интегрирования C.

Решение A3:
Интегрируя функцию f(x) = 8x - 3, получим F(x) = 4x^2 - 3x + C.

Чтобы найти значение постоянной интегрирования C, мы используем начальное условие, что F(1) = 4. Подставив x = 1 и F(x) = 4 в уравнение, получим: 4 = 4(1)^2 - 3(1) + C. Решая это уравнение, мы можем найти значение C.

4 = 4 - 3 + C
C = 3

Таким образом, примитивная функция, проходящая через точку M(1; 4) для f(x) = 8x - 3, будет F(x) = 4x^2 - 3x + 3.

A4: Общая форма примитивной функции для f(x) = 2/x^3:
Чтобы найти общую форму примитивной функции для функции f(x) = 2/x^3, нам нужно проинтегрировать f(x) по отдельным частям.

Решение A4:
Интегрируя функцию f(x) = 2/x^3, получим: F(x) = -2/(2x^2) + C = -1/x^2 + C.

Таким образом, общая форма примитивной функции для f(x) = 2/x^3 будет F(x) = -1/x^2 + C.

Тема вопроса: Интегрирование

Инструкция:
Интегрирование - это процесс нахождения примитивной функции к данной функции. Производная и интеграл являются обратными операциями друг к другу. Если производная функции показывает ее скорость изменения, то интеграл позволяет нам найти накопленное изменение функции.

Дополнительный материал:
A1. Чтобы найти функцию с производной, равной f(x)=20x^4, мы должны взять интеграл от f(x). Интеграл f(x) будет равен функции F(x) = (4/5)x^5 + C. Ответ: 1) F(x) = (4/5)x^5 + C.

A2. Чтобы найти общий вид примитива для функции f(x) = 4x^3 - 6, мы должны взять интеграл от f(x). Интеграл f(x) будет равен функции F(x) = (1/4)x^4 - 6x + C. Ответ: 1) F(x) = (1/4)x^4 - 6x + C.

A3. Чтобы найти примитивную функцию для f(x) = 8x - 3, проходящую через точку M(1; 4), мы должны взять интеграл от f(x). Интеграл f(x) будет равен функции F(x) = 4x^2 - 3x + C. Чтобы найти значение постоянной C, мы можем использовать условие, что F(1) = 4. Подставив x = 1 и F(x) = 4 в уравнение F(x), мы получаем 4 = 4(1)^2 - 3(1) + C. Решив это уравнение, мы найдем C = 1. Ответ: 3) F(x) = 4x^2 - 3x + 1.

A4. Чтобы найти общий вид примитива для функции f(x) = 2/x^3, мы должны взять интеграл от f(x). Интеграл f(x) будет равен функции F(x) = -1/(2x^2) + C. Ответ: 3) F(x) = -1/(2x^2) + C.

Совет:
- При интегрировании задач всегда не забудьте добавить постоянную C, так как при взятии производной она исчезает.
- Проверьте свои ответы, взяв производную от полученной функции и убедившись, что она действительно равна исходной функции.

Закрепляющее упражнение:
1) Найдите примитивную функцию для f(x) = 3x^2 + 2x - 1.
2) Найдите общий вид примитива для функции f(x) = 1/(2x) - 5.
3) Найдите примитивную функцию для f(x) = 4sin(x) - 2cos(x).
4) Найдите общий вид примитива для функции f(x) = e^x + 1.