А) Find the solutions to the equation (3tg^2x-1) (cos x-π/3) =0. б) Determine all the roots belonging to the interval

Тема урока: Решение тригонометрических уравнений

Разъяснение:

Для решения данного уравнения нам необходимо найти значения переменной x, при которых уравнение будет выполняться. Для этого мы должны найти корни уравнения.

а) Наше уравнение имеет вид:
(3tg^2x-1) (cos x-π/3) = 0

Чтобы найти решения, мы должны приравнять каждый множитель к нулю и решить полученные уравнения по отдельности.

Первый множитель: 3tg^2x-1 = 0
Решив данное уравнение, получаем:
tg^2x = 1/3
tgx = ± √(1/3)
x = arctg (± √(1/3)) + kπ, где k - целое число.

Второй множитель: cos x-π/3 = 0
Решив данное уравнение, получаем:
cos x = π/3
x = arccos (π/3) + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы нашли решения уравнения (3tg^2x-1) (cos x-π/3) = 0 в форме x = арктангенс (± √(1/3)) + kπ и x = арккосинус (π/3) + 2kπ.

б) Чтобы найти корни, принадлежащие интервалу [-7π/2, -2π], нам необходимо выбрать значения k так, чтобы x находилось в указанном интервале.

Исходя из условия, получаем следующие неравенства:
-7π/2 ≤ x = арктангенс (± √(1/3)) + kπ ≤ -2π
-7π/2 - kπ ≤ арктангенс (± √(1/3)) ≤ -2π - kπ

Подберем целое значение k так, чтобы выполнялись эти неравенства. Например, при k = -1, получим:
-7π/2 - (-π) ≤ арктангенс (± √(1/3)) ≤ -2π - (-π)
-5π/2 ≤ арктангенс (± √(1/3)) ≤ -π

Таким образом, корни, принадлежащие интервалу [-7π/2, -2π], выражаются как:
x = арктангенс (± √(1/3)) - π

Демонстрация:
а) Найти решения уравнения (3tg^2x-1) (cos x-π/3) = 0.

Совет:
Для решения тригонометрических уравнений важно знать основные тригонометрические функции и их свойства. Также полезно использовать графики функций для визуального представления решений.

Проверочное упражнение
Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению cos(2x) = 1/2 в интервале [0, 2π].