Найдите все значения x, которые удовлетворяют уравнению 9^(x^2-x-5)+6^(x^2-x-4)-180*4^(x^2-x+7)=0, и принадлежат

Уравнение с экспонентами

Объяснение: Дано уравнение 9^(x^2-x-5)+6^(x^2-x-4)-180*4^(x^2-x+7)=0. Наша задача - найти все значения x, которые являются решениями этого уравнения и принадлежат отрезку от -√5 до √3.5. Чтобы решить это уравнение, мы будем использовать свойства экспонент и алгебруические методы.

Прежде чем начать, обратим внимание на то, что уравнение содержит экспоненты с различными основаниями (9, 6 и 4). Чтобы произвести вычисления, нам понадобится привести уравнение к единому основанию.

Начнем с преобразования оснований 9 и 6 к основанию 4. Используем следующие свойства экспонент:
9 = 3^2 и 6 = 2 * 3.

Теперь уравнение примет вид: (3^2)^(x^2-x-5)+(2*3)^(x^2-x-4)-180*4^(x^2-x+7)=0.
Далее, свойства экспонент позволяют нам упростить это уравнение:
3^(2*(x^2-x-5)) + (2*3)^(x^2-x-4) - 180*4^(x^2-x+7) = 0.

Теперь, объединим одинаковые основания и используем свойство суммы экспонент:
3^(2*(x^2-x-5) + x^2-x-4) - 180*4^(x^2-x+7) = 0.

После раскрытия скобок получаем:
3^(3x^2 - 9x - 10) + 2^(x^2 - 2x - 4) - 180*2^(2x^2 - 2x + 14) = 0.

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только одно основание - 2. Для решения этого уравнения нам понадобится применить алгебраические методы. Однако, данное уравнение не имеет простого аналитического решения. Для нахождения значения x придется использовать численные методы, например, метод итераций. Такой метод позволяет приближенно найти решения уравнения.

Совет: Если у вас возникли трудности при решении уравнений с экспонентами, вы можете применить логарифмы для приведения уравнения к более простому виду. Используйте свойства логарифмов, чтобы избавиться от экспонент. Кроме того, не забывайте проверять полученные решения в исходном уравнении.

Упражнение: Решите уравнение 4^(2x-1) - 3^(4x+2) = 12 и найдите все значения x, являющиеся решением уравнения.