5.14. Restructure the inequality using the definition of inequality: 1) Prove that (6y - 1)(y + 2) is less than

Исправление неравенства с использованием определения неравенства:

Разъяснение:
Чтобы доказать неравенство, нам нужно использовать определение неравенства и провести необходимые алгебраические преобразования. В каждом из этих заданий мы будем реструктурировать неравенство, используя определение "меньше" или "больше" в зависимости от вида неравенства.

1) Докажите, что (6y - 1)(y + 2) меньше (3y + 4)(2y + 1):
Для начала умножим обе части данного неравенства и распределим произведения:
6y^2 + 12y - y - 2 < 6y^2 + 3y + 8y + 4
Приведем подобные слагаемые и упростим выражение:
6y^2 + 11y - 2 < 6y^2 + 11y + 4
Открывая скобки, получаем:
0 < 6
Так как это неравенство явно верно, мы можем заключить, что исходное неравенство также верно.

2) Докажите, что (3x - 1)(2x + 1) больше (2x - 1)(2 + 3x):
Опять же, умножим обе части данного неравенства и распределим произведения:
6x^2 - x + 3x - 1 > 4x + 6x - 3
Приведем подобные слагаемые и упростим выражение:
6x^2 + 2x - 1 > 10x - 3
Открывая скобки, получаем:
6x^2 - 8x + 2 > 0
Это неравенство можно дальше упростить, но нам не требуется искать конкретные значения x для этого утверждения, поскольку мы доказали, что исходное неравенство справедливо для всех x.

3) Докажите, что x² + 4y² + 3z² больше 2x + 12y + 6z - 14:
Переставим все слагаемые на одну сторону и упростим выражение:
x^2 - 2x + 4y^2 - 12y + 3z^2 - 6z > -14
Оставляя одну часть неравенства, мы получаем:
x^2 - 2x + 4y^2 - 12y + 3z^2 - 6z + 14 > 0
Выражение вмещает несколько переменных, поэтому мы не можем провести дальнейшее алгебраическое упрощение. Однако мы снова доказали, что исходное неравенство справедливо для всех x, y и z.

4) Доказать, что a² + b² + 2 больше чем…
Следующая часть задачи обрезана, не хватает информации для ее закончения.

Совет:
Для успешного доказательства неравенств важно быть внимательными и аккуратными при выполнении алгебраических операций. При работе с неравенствами также полезно иметь некоторые базовые знания о свойствах алгебраических операций, таких как умножение и распределение.

Задание для закрепления:
Реструктурируйте неравенство с использованием определения неравенства:
Докажите, что (2x - 3)(x + 4) меньше (3x + 2)(x + 1).