35.13. 1) Is the expression (10 + x )(100 – 10x + x2) -33 – 500x less than zero? 2) Is the expression –x3 +675x –

Название: Анализ знаков выражений

Инструкция:

Чтобы определить знаки данных выражений, мы должны проанализировать каждое из них. Для этого нам потребуется выполнить раскрытие скобок и сгруппировать подобные слагаемые.

1) Для первого выражения: (10 + x)(100 – 10x + x^2) - 33 – 500x < 0, нам нужно раскрыть скобки и сократить подобные слагаемые:
1000 - 100x + 10x^2 + 100x - 10x^2 + x^3 - 33 - 500x < 0
Упрощая выражение, получаем:
x^3 - 500x - 1333 < 0

2) Второе выражение: -x^3 + 675x - (15 + x)(225 - 15x + x^2) > 0
Раскрываем скобки:
-x^3 + 675x - 3375 + 225x - 15x^2 + 15x + x^3 - 15x^2 + x^3 > 0
Упрощаем:
-30x^2 + 715x - 3375 > 0

3) Третье выражение: (169 + 13x + x^2)(x – 13) - x^3 – 2262x < 0
Раскрываем скобки:
169x - 2197 + 13x^2 - 169x + x^3 - 13x^2 - x^3 – 2262x < 0
Упрощаем:
-4329x - 2197 < 0

4) Четвертое выражение: 1331x – 303 + (11 + x)(x^2 – 11x + 121) > 0
Раскрываем скобки:
1331x - 303 + 11x^3 - 121x^2 + 1331x - 11x^2 + 121x^2 - 1331x + 121x^2 > 0
Упрощаем:
11x^3 + 242x^2 - 303 > 0

Пример:

1) Решим первое выражение:
x^3 - 500x - 1333 < 0
Мы можем решить это неравенство, найдя корни уравнения x^3 - 500x - 1333 = 0, и определить знак выражения между корнями.

Совет:

Для числового анализа знаков выражений, полезно представить выражение в виде многочлена и проанализировать его корни и промежутки между корнями. Мы можем использовать теорему Безу, чтобы проверить, является ли x - a делителем данного выражения, где a - это корень многочлена.

Задача на проверку:

Определите знак выражения для каждой из следующих неравенств:
1) (3x + 1)(2x - 5) > 0
2) (x - 3)(x^2 + 2x - 8) < 0
3) (4x^2 - 9)(x + 2) > 0
4) (x - 1)(x - 2)(x - 3) < 0