2) Определите, является ли функция y= 3x/x-2 ограниченной при условии x > 2. 3) Проверьте, является ли функция

Тема: Функции и их свойства

Разъяснение:

1) Для определения того, является ли функция ограниченной, нужно проанализировать ее поведение на определенном интервале значений. В данном случае, функция y = 3x/(x-2) задана при условии x > 2.

Чтобы определить ограниченность функции, нужно проверить наличие верхних и нижних границ на этом интервале. Для этого можно анализировать пределы функции при x стремящемся к плюс и минус бесконечности.

Давайте найдем пределы функции при x стремящемся к плюс и минус бесконечности:

Предел при x стремящемся к плюс бесконечности:
lim(x→∞) (3x/(x-2)) = lim(x→∞) (3+2/x) = 3

Предел при x стремящемся к минус бесконечности:
lim(x→-∞) (3x/(x-2)) = lim(x→-∞) (-3+2/x) = -3

Так как мы получили конечные пределы функции, можно сказать, что функция ограничена на интервале x > 2. В данном случае, верхняя граница функции равна 3, а нижняя граница функции равна -3.

2) Для проверки четности функции, нужно сравнить значение функции при x с противоположным значением -x. Если значения равны, функция является четной, если значения отличаются по знаку, функция является нечетной.

Проверим функцию y = -|x|/2 + x^4 + 1 на четность:

y(-x) = -|-x|/2 + (-x)^4 + 1 = -|x|/2 + x^4 + 1

Поскольку y(-x) = y(x), то функция является четной.

Пример использования:
1) Задача: Определите, является ли функция y = 5x^2 + 3 ограниченной при условии x > 0.
2) Задача: Проверьте, является ли функция y = |x-2| четной.

Совет:
- Для определения ограниченности функции, прежде всего, необходимо найти пределы функции на интервале значений.
- Для проверки четности функции, сравните значения при x и -x.

Упражнение:
1) Определите, является ли функция y = 2x^3 - 4x^2 + 5x + 1 ограниченной при условии x > 0.
2) Проверьте, является ли функция y = x^3 - 2x^2 + x нечетной или четной.