1. Знайдіть діапазон значень функції y = -x^2 + 8x - 15. 2. Знайдіть інтервали, на яких функція спадає. 3. Знайдіть

Содержание: Анализ функции второй степени

Пояснение: Для анализа данной функции второй степени y = -x^2 + 8x - 15, нам понадобится найти диапазон значений, интервалы убывания, корни и интервалы изменения знака функции.

1. Диапазон значений функции: Для этого нужно найти вершину параболы, так как от нее будет зависеть направление открытости параболы. Формула вершины параболы x = -b/2a, где a, b и c - коэффициенты при переменных. Подставим значения в формулу и найдем х: x = -8 / (2 x (-1)) = 4. Теперь подставим найденное значение в исходную функцию и найдем значение y: y = -(4)^2 + 8 x 4 - 15 = -16 + 32 - 15 = 1. Таким образом, диапазон значений функции y = -x^2 + 8x - 15 будет от -∞ до 1.

2. Интервалы убывания: Функция будет убывать на интервале, где коэффициент a отрицательный. В данном случае а = -1, что означает, что функция будет убывать на всей числовой прямой.

3. Корни (нули) функции: Чтобы найти корни (нули) функции, нужно приравнять функцию к нулю и решить уравнение. В данном случае, y = -x^2 + 8x - 15 = 0. Приведем уравнение к каноническому виду: x^2 - 8x + 15 = 0. Далее, найдем корни этого уравнения. Для этого можно использовать факторизацию или квадратное уравнение. Факторизуя уравнение, мы получим (x - 3)(x - 5) = 0. Отсюда, x = 3 или x = 5. Итак, корни функции y = -x^2 + 8x - 15 равны x = 3 и x = 5.

4. Интервалы, на которых функция меняет знак: Для этого нужно решить неравенство y > 0 и y < 0 относительно функции. Учитывая, что диапазон значений функции находится от -∞ до 1, можно вывести интервальное представление. Когда y > 0, функция находится в положительной области. Когда y < 0, функция находится в отрицательной области. Таким образом, интервалами, на которых функция меняет знак, будут (-∞, 3) и (5, ∞).

Демонстрация:
1. Найти диапазон значений функции y = -x^2 + 8x - 15.
2. Найти интервалы, на которых функция спадает.
3. Найти корни (нули) функции.
4. Найти интервалы, на которых функция изменяет знак.

Совет: Чтобы лучше понять анализ функций второй степени, рекомендуется изучить основные понятия, такие как вершина параболы, дискриминант квадратного уравнения и факторизация.

Дополнительное задание: Найдите диапазон значений функции y = -2x^2 + 6x - 3.