а) Какие значения (х; у) удовлетворяют уравнению 4х^2 - 81y^2 = 0? б) Найти все числовые пары (х; у), чтобы выполнялось

Тема занятия: Решение уравнений

Объяснение: Для решения каждого уравнения всегда можно использовать алгебраические методы. Давайте последовательно рассмотрим каждое из уравнений.

а) Уравнение 4х^2 - 81y^2 = 0:
Данное уравнение является квадратным уравнением с двумя переменными х и у. Для его решения рассмотрим каждый множитель отдельно:
4х^2 = 0 => х^2 = 0. Так как квадрат числа равен нулю только в случае, когда само число равно нулю, получаем х = 0.
81y^2 = 0 => y^2 = 0. Опять же, т.к. квадрат числа равен нулю только в случае, когда само число равно нулю, получаем y = 0.

Итак, уравнение 4х^2 - 81y^2 = 0 имеет одно решение: (х, у) = (0, 0).

б) Уравнение х^2 + 2xy + y^2 = 0:
Данное уравнение также является квадратным. Давайте решим его:
Так как у нас нет числовых значений, мы можем применить алгебраические методы. Введем новую переменную, например z = x + y, и заменим уравнение соответствующим образом:
z^2 = 0.
Выражение z^2 равно нулю только в случае, когда само число равно нулю. Следовательно, z = 0.
Заменим обратно x + y = 0.
Мы получили, что x = -y.

Значит, все числовые пары (х, у), удовлетворяющие уравнению х^2 + 2xy + y^2 = 0, имеют вид (х, у) = (t, -t), где t - любое число.

в) Уравнение xy + 20 = 5х + 4у:
Чтобы решить это уравнение, соберем все переменные с одной стороны, а числа - с другой:
xy - 5х - 4у = -20.
Далее используем метод подстановки. Допустим, у нас есть значение для х, тогда мы можем выразить у:
y = (5х + 20) / (x - 4).

Таким образом, каждая пара (х, у), удовлетворяющая данному уравнению, имеет вид (х, у) = (t, (5t + 20) / (t - 4)), где t - любое число, кроме t = 4 (чтобы не было деления на ноль).

г) Уравнение х√у - 3 = (х - 3)√у:
Это уравнение также содержит корни, поэтому для решения его преобразуем и упростим:
(х√у - х + 3)√у = 0.
Вынося общий множитель √у за скобки, получаем:
(√у)(х - 1) = 0.

Таким образом, решением данного уравнения являются все пары (х, у), для которых у = 0 или х = 1.

а) Решение уравнения 4х^2 - 81y^2 = 0:

Для нахождения значений (x; y), удовлетворяющих данному уравнению, нужно приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение.

4х^2 - 81y^2 = 0

Данное уравнение можно представить в виде (2х - 9у)(2х + 9у) = 0. Так как произведение равно нулю, то один из множителей должен равняться нулю.

2х - 9у = 0 или 2х + 9у = 0

Для первого уравнения решаем его относительно х:

2х = 9у

х = (9у) / 2

Для второго уравнения решаем его относительно х:

2х = -9у

х = (-9у) / 2

Таким образом, уравнение 4х^2 - 81y^2 = 0 имеет два решения: (x; y) = (9у / 2; у) и (x; y) = (-9у / 2; у), где у - любое действительное число.

б) Решение уравнения х^2 + 2xy + y^2 = 0:

Для нахождения числовых пар (x; y), удовлетворяющих данному уравнению, нужно приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение.

х^2 + 2xy + y^2 = 0

Данное уравнение является квадратным трехчленом, который можно представить в виде (х + у)^2 = 0, так как сумма квадратов равна нулю только при нулевых коэффициентах.

Решим данное уравнение:

х + у = 0

Отсюда получаем, что для любого значения x, соответствующее значение y будет равно -x. Таким образом, все числовые пары (x; y), удовлетворяющие уравнению х^2 + 2xy + y^2 = 0, имеют вид (x; -x), где x - любое действительное число.

в) Решение соотношения xy + 20 = 5х + 4у:

Для нахождения значений (x; y), удовлетворяющих данному соотношению, нужно привести его к уравнению и решить его.

xy + 20 = 5х + 4у

Приведем данное соотношение к уравнению:

xy - 5х - 4у + 20 = 0

Попробуем раскрыть скобки:

xy - 5х - 4у + 20 = 0

x(y - 5) - 4(y - 5) = 0

(x - 4)(y - 5) = 0

Так как произведение равно нулю, то один из множителей должен равняться нулю.

x - 4 = 0 или y - 5 = 0

Для первого уравнения решаем его относительно x:

x = 4

Для второго уравнения решаем его относительно y:

y = 5

Таким образом, решением соотношения xy + 20 = 5х + 4у является пара значений (x; y) = (4; 5).

г) Решение уравнения х√у - 3 = (х - 3)√у:

Для нахождения всех пар чисел (x, y), удовлетворяющих данному уравнению, нужно привести его к уравнению и решить его.

х√у - 3 = (х - 3)√у

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(х√у - 3)^2 = ((х - 3)√у)^2

х^2у - 6х√у + 9 = (х^2 - 6х + 9)у

Раскроем скобки:

х^2у - 6х√у + 9 = х^2у - 6ху + 9у

Далее, сгруппируем слагаемые:

- 6х√у + 6ху = 6х(√у - у) = -9у(у - 1)

Получается, что для удовлетворения уравнения должно выполняться соотношение:

√у - у = -(3у - 3)

Перейдем к решению полученного уравнения:

√у - у = -3у + 3

√у + 2у = 3

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:

(√у + 2у)^2 = 3^2

у + 4у^2 + 4у√у = 9

4у^2 + 4у√у + у - 9 = 0

Здесь можно заметить, что данное уравнение является квадратным трехчленом, зависящим от переменной y. Полученное уравнение можно решить с помощью факторизации или квадратного корня.

Решением данного уравнения будут все пары чисел (х; у), где y является положительным или отрицательным корнем полученного уравнения.

Таким образом, для уравнений a), b), c) и g) получены подробные решения, пояснения и шаги к решению. Для дополнительной практики, выполним следующее упражнение:

Дополнительное упражнение: Решите уравнение 2x^2 + 3x - 2 = 0.