1) Сколько существует перестановок цифр, при которых число 3334 не изменяется? 2) Сколько существует перестановок букв

Тема: Перестановки

Инструкция: Перестановка - это процесс, в результате которого элементы множества меняют свои места. Для решения задачи о перестановках мы должны знать, какие элементы нужно переставлять и какие элементы должны оставаться на своих местах.

1) Для определения количества перестановок цифр в числе 3334, при которых число не изменяется, мы располагаем 4 одинаковых числа - три тройки и одну четверку. При перестановке мы не можем отличить одну тройку от другой и одну четверку от другой. Таким образом, мы должны найти количество различных перестановок этих элементов.
В данном случае, используем формулу перестановок с повторениями, которая определяется как n! / (n₁! * n₂! * ... * nk!), где n - общее количество элементов, n₁, n₂ ... nk - количество повторений каждого элемента.

В нашем случае, n = 4 (тройки и четверки), и количество повторений каждого элемента равно n₁ = 3 и n₂ = 1 (тройки и четверки соответственно). Подставим эти значения в формулу и получим:

количество перестановок = 4! / (3! * 1!) = 4.

Таким образом, существует 4 различных перестановки цифр, при которых число 3334 не изменяется.

2) Для определения количества перестановок букв в слове "комбинаторика", при которых оно не изменяется, мы должны рассмотреть количество букв каждого типа и использовать формулу перестановок с повторениями, аналогично предыдущей задаче.

В слове "комбинаторика" есть 13 букв, но некоторые буквы повторяются. Вот количество повторений для каждой буквы:
К - 1 раз
О - 2 раза
М - 1 раз
Б - 1 раз
И - 2 раза
Н - 1 раз
А - 1 раз
Т - 1 раз
Р - 1 раз

Подставим эти значения в формулу и найдем количество перестановок:

количество перестановок = 13! / (2! * 2! * 1! * 1! * 1! * 1! * 1! * 1! * 1!) = 64,864,800.

Таким образом, существует 64,864,800 различных перестановок букв в слове "комбинаторика", при которых оно не изменяется.

Пример использования:
1) Какое количество перестановок цифр в числе 3334, при которых число не изменяется?
2) Сколько существует перестановок букв в слове "комбинаторика", при которых оно не изменяется?

Совет: Для решения задач о перестановках с повторениями, всегда используйте формулу перестановок с повторениями, которая определяется как n! / (n₁! * n₂! * ... * nk!), где n - общее количество элементов, а n₁, n₂ ... nk - количество повторений каждого элемента.

Упражнение: Сколько существует перестановок букв в слове "математика", при которых оно не изменяется?