1. Перепишите функцию и найдите производную: а) Найти производную функции f(x)=-2x^4+(1/3x^6)-1 б) Найти производную

1. Перепишите функцию и найдите производную:

а) Функция f(x) = -2x^4 + (1/3)x^6 - 1

Чтобы найти производную этой функции, мы применим правило дифференцирования для каждого члена функции. Для полиномов, таких как данная функция, мы дифференцируем каждую степень переменной, умножая ее на соответствующий коэффициент:

f"(x) = -2 * 4x^(4-1) + (1/3) * 6x^(6-1) - 0
f"(x) = -8x^3 + 2x^5

б) Функция f(x) = (2/x^4) + x

Проделаем ту же операцию для данной функции:

f"(x) = 2 * (-4x^(-4-1)) + 1
f"(x) = -8/x^5 + 1

в) Функция f(x) = 3sin(x)

Функция вида f(x) = sin(x) имеет производную cos(x), поэтому производная функции f(x) = 3sin(x) равна:

f"(x) = 3cos(x)

2. Найдите производную функции и вычислите ее значение в указанной точке:

а) Функция f(x) = cos(3x - π/4), точка x = π/4

Производная функции cos(x) равна -sin(x), поэтому производная функции f(x) = cos(3x - π/4) равна:

f"(x) = -sin(3x - π/4)

Теперь найдем значение производной в точке x = π/4:

f"(π/4) = -sin(3 * (π/4) - π/4)
f"(π/4) = -sin(π/2)
f"(π/4) = -1

б) Функция f(x) = (x^2 - 2)/x, точка x = -1

Продифференцируем функцию и найдем значение производной в точке x = -1:

f"(x) = (2x * x - (x^2 - 2)) / x^2
f"(x) = (2x^2 - x^2 + 2) / x^2
f"(x) = (x^2 + 2) / x^2

f"(-1) = ((-1)^2 + 2) / (-1)^2
f"(-1) = (1 + 2) / 1
f"(-1) = 3

3. Найдите точки, в которых производная данной функции равна нулю:

а) Функция f(x) = √2*cos(x) + x

Для найти точки, в которых производная равна нулю, мы должны приравнять производную к нулю и решить уравнение:

f"(x) = 0

√2*(-sin(x)) + 1 = 0

√2*(-sin(x)) = -1

sin(x) = 1/√2

Точки, в которых производная функции f(x) равна нулю, определяются значениями х, при которых sin(x) = 1/√2. Один такой угол находится в первом квадранте: x = π/4. Для таких углов, синус равен 1/√2.

б) Функция f(x) = x^4 - 2x^2

Для нахождения точек, в которых производная функции равна нулю, мы должны приравнять производную к нулю и решить уравнение:

f"(x) = 0

4x^3 - 4x = 0

4x (x^2 - 1) = 0

4x (x - 1)(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть три возможных значения х: x = 0, x = 1, x = -1.