1. Определите все возможные значения действительных чисел a и b, для которых у квадратичного полинома f(x) = x2+ax+b

Тема урока: Квадратичные полиномы
Пояснение:
1. Для нахождения всех возможных значений действительных чисел a и b, необходимо использовать условия f(a)=b и f(b)=a.
- Подставим значение a вместо x в полином f(x): f(a) = a^2 + a * a + b = 2a^2 + b.
- Запишем условие f(a) = b: 2a^2 + b = b.
- Удаление b из уравнения дает: 2a^2 = 0.
- Решив это уравнение, получаем a = 0.
- Подставим значение b вместо x в полином f(x): f(b) = b^2 + ab + b = b^2 + ab + a.
- Запишем условие f(b) = a: b^2 + ab + a = a.
- Удаление a из уравнения дает: b^2 + ab = 0.
- Факторизируем это уравнение, чтобы получить значения b: b(b + a) = 0.
- Из этого уравнения следует два возможных значения для b: b = 0 или b = -a.
- Таким образом, возможные значения для a и b: a = 0, b = 0; a = -b, b - любое действительное число.

2. Чтобы найти все целочисленные значения t, при которых уравнение x^2 + tx + t = 0 имеет как минимум один целый корень:
- Воспользуемся формулой дискриминанта для квадратного уравнения: D = t^2 - 4t.
- Уравнение имеет как минимум один целый корень, если дискриминант является полным квадратом целого числа.
- Дискриминант является полным квадратом целого числа, если его корень также является целым числом.
- Представим дискриминант в виде произведения целых чисел: D = t(t - 4).
- Для D быть полным квадратом целого числа, каждый сомножитель должен быть полным квадратом целого числа.
- Это означает, что t и (t - 4) должны быть полными квадратами целого числа.
- Проверим целочисленные значения t, начиная с 0, и найдем значения t, при которых и t, и (t - 4) являются полными квадратами целого числа.
- Найденные значения t будут удовлетворять условию задачи.

Демонстрация:
1. Задача: Определите все возможные значения действительных чисел a и b, для которых у квадратичного полинома f(x) = x^2+ax+b выполнены условия: f(a)=b и f(b)=a.
2. Задача: Найдите все целочисленные значения t, при которых уравнение x^2+tx+t=0 имеет как минимум один целый корень.

Совет: Для решения задач, связанных с квадратичными полиномами, полезно знать формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Также важно уметь факторизовывать квадратные выражения и работать с целыми числами.

Дополнительное задание: Найдите все возможные значения действительных чисел a и b, для которых у квадратичного полинома f(x) = x^2 + ax + b выполнены условия: f(a) = b и f(b) = a.