1. Определите монотонность и наличие экстремумов функции f(x) = (x+1)^2(x-2). 2. Исследуйте функцию f(x) = (x+1)^2(x-2

Тема: Исследование функции на монотонность и экстремумы

Объяснение:
Для того чтобы определить монотонность и наличие экстремумов функции, нужно проанализировать её производную. Производная функции f(x) = (x+1)^2(x-2) равна f'(x) = 3x^2 - 2x - 4.

1. Монотонность:
Для определения монотонности функции, необходимо решить неравенство f'(x) > 0 для положительной монотонности и f'(x) < 0 для отрицательной монотонности.
Решим неравенство f'(x) > 0:
3x^2 - 2x - 4 > 0
Получим два интервала: (-∞, -1) и (2, +∞), на которых производная положительна. Значит, функция f(x) возрастает на этих интервалах.

2. Экстремумы:
Для определения экстремумов функции, нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Найдем корни уравнения f'(x) = 3x^2 - 2x - 4 = 0:
x = -1,33 и x = 1,33.
Эти две точки являются кандидатами на точки экстремума.

Пример использования:
Представим, что мы анализируем функцию f(x) = (x+1)^2(x-2). Мы хотим определить её монотонность и наличие экстремумов. Для этого мы берем производную функции и решаем неравенство f'(x) > 0. Получаем интервалы (-∞, -1) и (2, +∞), на которых функция возрастает. Затем, находим корни уравнения f'(x) = 0 и получаем точки экстремума x = -1,33 и x = 1,33.

Совет:
Для лучшего понимания монотонности и экстремумов функции, рекомендуется проводить дополнительные исследования графика функции и анализировать поведение функции на интервалах, где производная положительна или отрицательна.

Практика:
Исследуйте функцию g(x) = x^3 - 2x^2 - 5x на монотонность и экстремумы. Найдите интервалы, на которых функция возрастает и убывает, а также точки экстремумов.