1) Доказать, что прямая cd параллельна плоскости, если точка m не находится в плоскости прямоугольника abcd

Тема: Доказательство параллельности прямой и плоскости

Инструкция: Чтобы доказать, что прямая cd параллельна плоскости, если точка m не находится в плоскости прямоугольника abcd, мы можем использовать определение параллельности прямой и плоскости.

Первым шагом мы можем рассмотреть нормальный вектор плоскости прямоугольника abcd. Нормальный вектор - это вектор, перпендикулярный к плоскости и указывающий в направлении от плоскости.

Затем мы можем рассмотреть вектор, направленный от точки m до любой точки на прямой cd. Если прямая cd параллельна плоскости, то этот вектор должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости.

Поэтому, чтобы доказать параллельность, мы должны убедиться, что скалярное произведение вектора, направленного от точки m до любой точки на прямой cd, и нормального вектора плоскости равно нулю. Если это так, то прямая cd будет параллельна плоскости.

Пример: Пусть точка m имеет координаты (x_m, y_m, z_m), а прямая cd проходит через точки (x_1, y_1, z_1) и (x_2, y_2, z_2). Нормальный вектор плоскости прямоугольника abcd имеет координаты (a, b, c). Для доказательства параллельности прямой cd и плоскости, мы должны показать, что a*(x_2 - x_1) + b*(y_2 - y_1) + c*(z_2 - z_1) = 0.

Совет: При работе с такими задачами помните, что параллельные прямая и плоскость не пересекаются. Вектор, направленный от точки m до прямой, должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости. Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если они перпендикулярны.

Задача для проверки: Для плоскости прямоугольника abcd с нормальным вектором a(2, -1, 3), точка m(4, 5, 6) и прямая cd проходящая через точки c(1, 2, 3) и d(7, 8, 9), докажите, что прямая cd параллельна плоскости. Ответ приведите в виде скалярного произведения.