1. Определить значение sin α и cos α, если tg α/2 = 5. 2. Найти значение sin 2α и cos 2α, если a) tg α = — 3; б

Тема занятия: Тригонометрия

1. Определение значений sin α и cos α, если tg α/2 = 5
Для решения этой задачи воспользуемся формулами половинного угла для тангенса:
tg(α/2) = (sin α) / (1 + cos α)
Из условия задачи известно, что tg(α/2) = 5. Подставим это значение в формулу и решим уравнение:
5 = (sin α) / (1 + cos α)
Умножим обе части уравнения на (1 + cos α):
5(1 + cos α) = sin α
Раскроем скобки:
5 + 5cos α = sin α
Перенесем все члены уравнения на одну сторону:
sin α - 5cos α - 5 = 0
Полученное уравнение является тригонометрическим уравнением, которое можно решить графически, методом подстановки или с использованием тригонометрических идентичностей.

2. Нахождение значений sin 2α и cos 2α при a) tg α = —3; б) ctg α = 3
При решении этой задачи воспользуемся формулами двойного угла:
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos² α - sin² α
Для нахождения значений sin 2α и cos 2α подставим данные значения tg α и ctg α в эти формулы и произведем вычисления.

3. Тригонометрическое доказательство неравенства
Для проведения тригонометрического доказательства неравенства нужно знать само неравенство. Пожалуйста, предоставьте неравенство, которое нужно доказать.

4. Доказательство того, что sin 2α и tg α имеют одинаковый знак для любого α
Чтобы доказать, что sin 2α и tg α имеют одинаковый знак для любого α, используем формулы для sin 2α и tg α и проанализируем их знаки.

5. Нахождение sin^4 α — cos^4 α и sin α • cos α при tg α/2 = 1/2
Воспользуемся формулами для нахождения sin^4 α — cos^4 α и sin α • cos α, подставим значение tg α/2 и произведем вычисления.

Совет: В тригонометрии важно помнить основные тригонометрические формулы и идентичности. Практика решения разнообразных задач по этой теме также поможет укрепить понимание материала.

Дополнительное задание: Найдите значение cos α, если sin α = 3/5 и 0 < α < π/2.