Арифметическая и геометрическая прогрессии
1) Найдите восьмой элемент и сумму первых восьми элементов арифметической прогрессии (а), если а = 1 и а1
1) Найдите восьмой элемент и сумму первых восьми элементов арифметической прогрессии (а), если а = 1 и а1 = 4.
2) Найдите четвертый элемент и сумму первых пяти элементов геометрической прогрессии (b), если b = 3 и q = 3.
3) Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии — 64, 32, —16, ... .
4) Найдите номер элемента арифметической прогрессии (а), равного 3,6, если а = 2, 4 и d = 0,2.
5) Какие два числа нужно вставить между числами 8 и –64, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?
6) При каких значениях х выражения 3х-2, х+2 и х+8 станут последовательными?
2) Найдите четвертый элемент и сумму первых пяти элементов геометрической прогрессии (b), если b = 3 и q = 3.
3) Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии — 64, 32, —16, ... .
4) Найдите номер элемента арифметической прогрессии (а), равного 3,6, если а = 2, 4 и d = 0,2.
5) Какие два числа нужно вставить между числами 8 и –64, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?
6) При каких значениях х выражения 3х-2, х+2 и х+8 станут последовательными?
02.12.2023 03:29
Написать свой ответ:
Описание:
1) Для задачи 1 с арифметической прогрессией, мы знаем, что первый элемент (a1) равен 4, а разность (d) равна разности между соседними элементами, то есть 1. Чтобы найти восьмой элемент, мы используем формулу an = a1 + (n - 1) * d, где n - номер элемента. Таким образом, для нашего случая, a8 = 4 + (8 - 1) * 1 = 4 + 7 * 1 = 11. Чтобы найти сумму первых восьми элементов арифметической прогрессии, мы используем формулу Sn = (n / 2) * (2a1 + (n - 1) * d), где Sn - сумма первых n элементов. Для нашего случая, S8 = (8 / 2) * (2 * 4 + (8 - 1) * 1) = 4 * (8 + 7) = 4 * 15 = 60.
2) Для задачи 2 с геометрической прогрессией, мы знаем, что первый элемент (b) равен 3, а знаменатель (q) равен 3. Чтобы найти четвертый элемент, мы используем формулу bn = b * q^(n - 1), где n - номер элемента. Таким образом, для нашего случая, b4 = 3 * 3^(4 - 1) = 3 * 3^3 = 3 * 27 = 81. Чтобы найти сумму первых пяти элементов геометрической прогрессии, мы используем формулу Sn = b * (q^n - 1) / (q - 1), где Sn - сумма первых n элементов. Для нашего случая, S5 = 3 * (3^5 - 1) / (3 - 1) = 3 * (243 - 1) / 2 = 3 * 242 / 2 = 363.
3) Для задачи 3 с бесконечной геометрической прогрессией, чтобы найти сумму, мы используем формулу Sn = a / (1 - q), где a - первый элемент и q - знаменатель. В нашем случае, a = 64 и q = -1/2, так как каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на -1/2. Таким образом, S = 64 / (1 - (-1/2)) = 64 / (1 + 1/2) = 64 / (3/2) = 64 * 2/3 = 128/3.
4) Для задачи 4 с арифметической прогрессией, чтобы найти номер элемента, мы используем формулу n = (an - a1) / d + 1, где an - искомый элемент, a1 - первый элемент и d - разность. В нашем случае, an = 3.6, a1 = 2 и d = 0.2. Таким образом, n = (3.6 - 2) / 0.2 + 1 = 1.6 / 0.2 + 1 = 8 + 1 = 9.
5) Для задачи 5 с геометрической прогрессией, нам нужно найти два числа, которые можно вставить между 8 и -64, чтобы образовать геометрическую прогрессию. Мы можем найти знаменатель (q) с помощью формулы q = b2 / b1, где b1 - первое число и b2 - второе число. В нашем случае, q = -64 / 8 = -8. Теперь мы можем найти третье и четвертое числа, используя формулу bn = b * q^(n - 1), где n - номер элемента. Таким образом, b3 = 8 * (-8)^(3 - 1) = 8 * (-8)^2 = 8 * 64 = 512 и b4 = 8 * (-8)^(4 - 1) = 8 * (-8)^3 = 8 * (-512) = -4096.
6) Для задачи 6, чтобы найти значения х при которых выражения 3х-2, х+2 и х+8 станут последовательными, мы должны решить систему уравнений. Первое уравнение будет 3х-2 = х+2, второе уравнение будет х+2 = х+8. Решая первое уравнение, мы получаем 3х-х = 2+2, что дает 2х = 4, откуда х = 2. Подставляя это значение во второе уравнение, мы получаем 2+2 = 2+8, что верно. Таким образом, значение х равно 2.
Дополнительный материал:
1) Найдите восьмой элемент и сумму первых восьми элементов арифметической прогрессии (а), если а = 1 и а1 = 4.
Совет: Всегда проверяйте ваши ответы, особенно при использовании формул для прогрессий.
Задача для проверки: Найдите сумму первых 10 элементов геометрической прогрессии, если первый элемент равен 5, а знаменатель равен 2.
1) Задание: Найдите восьмой элемент и сумму первых восьми элементов арифметической прогрессии (а), если а = 1 и а1 = 4.
Объяснение: Арифметическая прогрессия имеет вид: а, а+d, а+2d, а+3d, ..., где а - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.
Для нахождения восьмого элемента арифметической прогрессии используется формула: аₙ = а + (n-1)*d, где аₙ - n-й элемент прогрессии.
Для данной прогрессии а = 1 и а1 = 4, найдем разность d: d = а1 - а = 4 - 1 = 3.
Теперь с использованием формулы аₙ = а + (n-1)*d найдем восьмой элемент: а₈ = 1 + (8-1)*3 = 1 + 7*3 = 22.
Сумма первых восьми элементов арифметической прогрессии может быть найдена с использованием формулы: Сₙ = (2а + (n-1)d)*n/2.
Для нашей прогрессии С₈ = (2*1 + (8-1)*3)*8/2 = (2 + 7*3)*4 = (2 + 21)*4 = 92.
Доп. материал: Восьмой элемент арифметической прогрессии равен 22, а сумма первых восьми элементов равна 92.
Совет: При работе с арифметическими прогрессиями обратите особое внимание на формулы для нахождения элементов и суммы прогрессии.
Практика: Найдите сумму первых десяти элементов арифметической прогрессии с первым элементом 2 и разностью 4.