1) Как найти максимальное и минимальное значение функции у = х^2 + 4х на интервале [-3; 0]? 2) Проведите исследование

Максимальное и минимальное значение функции на интервале

Инструкция: Для нахождения максимального и минимального значения функции, сначала найдем критические точки функции. Критические точки - это точки, где значение функции может быть экстремальным, то есть максимальным или минимальным, или точки разрыва функции.

1) Рассмотрим функцию у = х^2 + 4х. Чтобы найти критические точки, необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю:

У"= 2х + 4.

Уравнение 2х + 4 = 0 имеет единственное решение х = -2. Это и есть критическая точка функции.

2) Далее, найдем значения функции на краях интервала [-3; 0]:

- Подставим х = -3: y = (-3)^2 + 4*(-3) = 9 - 12 = -3.
- Подставим х = 0: y = 0^2 + 4*0 = 0.

Таким образом, максимальное значение функции на интервале [-3; 0] равно 0, и достигается оно при х = 0. Минимальное значение функции равно -3 и достигается при х = -3.

Пример: Найдите максимальное и минимальное значение функции у = 2x^3 - 3x^2 на интервале [0; 2].

Совет: Чтобы лучше понять, как находить максимальные и минимальные значения функций на заданном интервале, рекомендуется изучить материал о нахождении экстремумов функций и исследовании их на экстремумы.

Задание для закрепления: Найдите максимальное и минимальное значение функции у = x^2 - 4x на интервале [1; 5].

Решение:
1) Для нахождения максимального и минимального значения функции у = х^2 + 4х на интервале [-3; 0], сначала найдем экстремумы функции. Экстремумы функции находятся в точках, где производная функции равна нулю или не существует.

Производная функции у = х^2 + 4х равна у" = 2х + 4. Чтобы найти критические точки, решим уравнение 2х + 4 = 0:

2х + 4 = 0
2х = -4
х = -2

Теперь проверим значения функции на границах интервала [-3; 0], то есть при х = -3 и х = 0:

F(-3) = (-3)^2 + 4(-3) = 9 - 12 = -3
F(0) = 0^2 + 4(0) = 0

Из этих значений видно, что минимальное значение функции равно -3 (достигается при х = -3), а максимальное значение функции равно 0 (достигается при х = 0).

2) Для проведения исследования на четность функций y = 5x^2/x^2 - 7 и y = |x + 3| - |x - 3|/x^2, проверим, является ли функция четной, нечетной или не является ни тем, ни другим.

a) Для функции y = 5x^2/x^2 - 7:
Проверим четность функции путем подстановки -х вместо х в функцию и проверки того, что получается тождество:

y(-х) = 5(-х)^2/(-х)^2 - 7 = 5х^2/х^2 - 7 = 5 - 7 = -2

Так как y(-х) = -2 ≠ y(х), функция y = 5x^2/x^2 - 7 не является ни четной, ни нечетной.

b) Для функции y = |x + 3| - |x - 3|/x^2:
Проверим четность функции путем подстановки -х вместо х в функцию и проверки того, что получается тождество:

y(-х) = |(-х) + 3| - |(-х) - 3|/(-х)^2 = | -х + 3| - | -х - 3|/х^2

Поскольку модуль функции может быть равным только положительному значению, мы можем записать это так:

y(-х) = |х - 3| - |х + 3|/х^2 ≠ -(|х + 3| - |х - 3|/х^2)

Таким образом, функция y = |x + 3| - |x - 3|/x^2 не является ни четной, ни нечетной.

Советы:
1) При решении задач на поиск максимального и минимального значения функции на интервале, проверьте значения функции на границах интервала и найдите критические точки, где производная равна нулю или не существует.
2) Для исследования на четность функции, проверьте, является ли функция тождественной или противоположной при замене х на -х. Если функция остается такой же, то она четная. Если функция меняет знак, то она нечетная. Если результаты не подходят ни под одно, ни под другое, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Дополнительное задание:
1) Найдите максимальное и минимальное значения функции y = 2x^2 + 3x - 1 на интервале [1; 5].
2) Проведите исследование на четность функции y = x^3 - 4x.