What is the solution to the differential equation y +4y=8cot(2x) with initial conditions y(pi/4)=5 and y(pi/4)=4?

Суть вопроса: Решение дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями

Инструкция: Дифференциальное уравнение, данное в задаче, имеет вид y"" + 4y = 8cot(2x). Здесь y"" обозначает вторую производную функции y по переменной x.

Для решения этого уравнения, мы можем использовать метод вариации постоянных. Для начала, найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Однородная часть уравнения имеет вид y"" + 4y = 0.

Характеристическое уравнение такого однородного уравнения будет иметь вид r^2 + 4 = 0, где r - неизвестная переменная.

Решая это квадратное уравнение, получим два комплексных корня: r1 = 2i и r2 = -2i.

Теперь, используя метод вариации постоянных, предположим, что общее решение неоднородного уравнения имеет вид y = u(x)*y1 + v(x)*y2, где u(x) и v(x) - функции переменных.

Продифференцируем это предположение по x:

y" = u"(x)*y1 + u(x)*y1" + v"(x)*y2 + v(x)*y2",
y" = u""(x)*y1 + 2u"(x)*y1" + u(x)*y1"" + v""(x)*y2 + 2v"(x)*y2" + v(x)*y2".

Теперь подставим это в исходное уравнение и раскроем все обратно:

u""(x)*y1 + 2u"(x)*y1" + u(x)*y1"" + v""(x)*y2 + 2v"(x)*y2" + v(x)*y2" + 4(u(x)*y1 + v(x)*y2) = 8*cot(2x).

Теперь приравняем коэффициенты при соответствующих функциях в левой и правой частях уравнения:

u""(x)*y1 + u(x)*y1"" + 4u(x)*y1 = 0, (1)
v""(x)*y2 + 2v"(x)*y2" + v(x)*y2" + 4v(x)*y2 = 8*cot(2x). (2)

Так как r1 = 2i и r2 = -2i - комплексные корни, то найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

v(x) = x*sin(2x), (3)
u(x) = -x*cos(2x). (4)

Далее, подставим (3) и (4) в (1) и (2), и решим эти уравнения относительно производных v"(x), v""(x), u"(x) и u""(x).

Используя начальные условия y(pi/4) = 5 и y"(pi/4) = 4, найдем значения констант из общего решения уравнений.

\u2192 Восстановление процесса скрытого текста.