Выскажите утверждение, доказывающее, что последовательности 1) и 2) являются возрастающими, а последовательность

Тема: Последовательности

Пояснение:

Последовательность - это упорядоченный набор чисел, записанных в определенном порядке. Существуют различные типы последовательностей, включая возрастающие и убывающие последовательности.

1) Чтобы доказать, что последовательность является возрастающей, необходимо проверить, что каждое следующее число в последовательности больше предыдущего числа. Например, если у нас есть последовательность чисел: 1, 3, 5, 7, 9, то каждое следующее число больше предыдущего, следовательно, эта последовательность является возрастающей.

2) Для доказательства того, что последовательность является убывающей, необходимо проверить, что каждое следующее число в последовательности меньше предыдущего числа. Например, если у нас есть последовательность чисел: 10, 8, 6, 4, 2, то каждое следующее число меньше предыдущего, следовательно, эта последовательность является убывающей.

Дополнительный материал:

Утверждение о возрастающих и убывающих последовательностях можно иллюстрировать на примере:

1) Последовательность возрастающих чисел: 2, 4, 6, 8, 10.
2) Последовательность убывающих чисел: 100, 90, 80, 70, 60.
3) Последовательность чисел, которая не является ни возрастающей, ни убывающей: 3, 1, 4, 2, 5, 3.

Совет:

При определении возрастающей или убывающей последовательности полезно посмотреть на разницу между соседними числами. В случае возрастающей последовательности разница будет положительной, а в случае убывающей - отрицательной. Также стоит обратить внимание на то, что в последовательности не должно быть повторяющихся чисел.

Задача на проверку:

Определите, является ли следующая последовательность возрастающей или убывающей:

4, 7, 9, 12, 15, 19, 21

Содержание: Последовательности

Объяснение: Последовательность - это упорядоченный набор чисел, записанных в определенном порядке. Чтобы доказать, что последовательность является возрастающей, необходимо показать, что каждое следующее число в последовательности больше предыдущего. А чтобы доказать, что последовательность убывающая, необходимо показать, что каждое следующее число меньше предыдущего.

1) Для доказательства возрастающей последовательности приведем следующее утверждение: "Для любого натурального числа n выполняется неравенство 2^n > 2^(n-1)". Данное утверждение можно доказать с помощью математической индукции, что подтверждает, что последовательность является возрастающей.

2) Для доказательства возрастающей последовательности приведем следующее утверждение: "Для любого натурального числа n выполняется неравенство n^2 > (n-1)^2". Данное утверждение также можно доказать с помощью математической индукции.

3) Для доказательства убывающей последовательности можно привести следующий пример: "Последовательность a_n = 1/n, где n - натуральное число". При увеличении значения n, числа в последовательности будут уменьшаться, что указывает на убывание последовательности.

Доп. материал:
Утверждение 1): Докажите, что последовательность a_n = 2^n является возрастающей.
Решение: Возьмем произвольные значения для n: n = 1 и n = 2. При n = 1 имеем a_1 = 2^1 = 2, при n = 2 имеем a_2 = 2^2 = 4. Заметим, что a_2 > a_1, что означает возрастание последовательности. Поэтому последовательность a_n = 2^n является возрастающей.

Совет: Для понимания и доказательства возрастающих и убывающих последовательностей полезно изучить принципы и методы математической индукции, так как они часто используются при рассмотрении таких задач.

Закрепляющее упражнение: Докажите, что последовательность b_n = n^3 является возрастающей.