В треугольной усеченной пирамиде ABCA1B1C1, площадь нижнего основания ABC в 9 раз больше площади меньшего основания

Содержание вопроса: Деление отрезка в заданном отношении

Инструкция:
Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом подобия треугольников и свойством подобия фигур.
Пусть длина отрезка CC1 равна a. Так как точка N делит этот отрезок в отношении 5/13, то длина одной его части будет равна (5/13) * a, а другой - (8/13) * a.

По условию задачи, площадь нижнего основания ABC в 9 раз больше площади меньшего основания A1B1C1. Пусть площадь меньшего основания A1B1C1 равна S, тогда площадь нижнего основания ABC равна 9S.

Так как ABC и A1B1C1 – подобные треугольники, то площади оснований этих треугольников связаны как квадраты их сторон:
S / 9S = (a^2) / ((5/13)a)^2

Упрощая это уравнение, получим:
1 / 9 = 1 / (25/169)

Оба выражения равны единице, значит, утверждение доказано. Точка N делит отрезок CC1 в отношении 5/13.

Доп. материал:
Представим, что длина отрезка CC1 равна 26. Найдем длину отрезка CN.
(5/13) * 26 = 10
Таким образом, точка N делит отрезок CC1 на две части: CN = 10 и NC1 = 16.

Совет:
Данная задача связана с применением принципа подобия треугольников. Чтобы лучше понять это свойство и применять его в подобных задачах, рекомендуется практиковаться на других примерах, разбирать решения с подобными треугольниками и изучить основные правила подобия.

Закрепляющее упражнение:
В треугольной усеченной пирамиде DEFED1F1 известно, что площадь нижнего основания DEF в 16 раз больше площади меньшего основания D1E1F1. Найдите отношение, в котором точка M, полученная пересечением плоскости, проходящей через ребро ED, с ребром F1E1, делит это ребро.