а) Какое уравнение соответствует вертикальной асимптоте данной функции y = x^4 / (3x^2 + 4)? б) Представьте уравнение

Тема занятия: Асимптоты функции

Объяснение:
а) Чтобы найти вертикальную асимптоту данной функции y = x^4 / (3x^2 + 4), нужно определить, когда знаменатель равен нулю, так как функция будет стремиться к бесконечности в этой точке. Решим уравнение 3x^2 + 4 = 0:
3x^2 = -4
x^2 = -4/3
Поскольку невозможно извлечь действительные корни из отрицательного числа, вертикальной асимптоты у данной функции нет.

б) Чтобы найти уравнение наклонной асимптоты, нужно сначала поделить функцию y = x^4 / (3x^2 + 4) и выделить целую часть функции. Для этого мы делим полином x^4 на 3x^2 и получаем:
y = (x^4 / 3x^2) / (3x^2 / 3x^2 + 4 / 3x^2)
y = (1/3) * (x^2) / (1 + 4 / 3x^2)
Выделяем целую часть функции (x^2), которая будет являться уравнением наклонной асимптоты.

в) Чтобы использовать пределы, чтобы доказать, что правильно определено уравнение наклонной асимптоты, нужно проанализировать предел функции, когда x стремится к бесконечности или минус бесконечности. Решим этот предел:
lim (x -> ±∞) [x^4 / (3x^2 + 4)]
Сначала можно сократить x в числителе и знаменателе:
lim (x -> ±∞) [x^3 / (3 + 4 / x^2)]
Затем, учитывая, что коэффициенты перед x^3 и 4 / x^2 достаточно малы по сравнению с x^2 в знаменателе, мы можем игнорировать их:
lim (x -> ±∞) [x^3 / x^2] = lim (x -> ±∞) [x]
Получаем x в качестве уравнения наклонной асимптоты.

Демонстрация:
а) Вертикальная асимптота данной функции отсутствует.
б) Уравнение наклонной асимптоты: y = x^2.
в) Используя предел, докажите, что правильно определено уравнение наклонной асимптоты: lim (x -> ±∞) [x] = ±∞.

Совет: При решении задач по асимптотам функций полезно использовать алгоритмы упрощения и анализа пределов.

Задача на проверку: Найти вертикальную и наклонную асимптоты функции y = (2x^3 + 3x^2 + 1) / (x^2 + 5).