Сколько студентов изучает язык в этой группе? Сколько студентов изучает только один язык?

Суть вопроса: Множества и пересечения

Инструкция: Для решения данной задачи нам необходимо использовать понятие множеств и операций над ними. Представим группу студентов, изучающих языки, в виде множества. Пусть A - множество студентов, изучающих английский язык, B - множество студентов, изучающих французский язык, и C - множество студентов, изучающих немецкий язык.

Возможны следующие ситуации:
1. Некоторые студенты изучают только один язык. Это означает, что они находятся в одной из трех категорий: A, B или C. Для определения количества таких студентов нам необходимо сложить мощности (количество элементов) множеств A, B и C: |A| + |B| + |C|.
2. Студенты могут изучать два языка одновременно. В этом случае необходимо рассмотреть пересечение множеств. Например, множество A ∩ B соответствует студентам, изучающим и английский, и французский языки. Аналогично рассматриваем множества B ∩ C и C ∩ A. Для определения количества студентов, изучающих два языка, необходимо сложить мощности всех пересечений: |A ∩ B| + |B ∩ C| + |C ∩ A|.
3. По аналогии с предыдущим пунктом, можно найти количество студентов, изучающих все три языка, при помощи пересечения всех множеств: |A ∩ B ∩ C|.

Таким образом, чтобы определить количество студентов, изучающих только один язык, нам нужно вычесть из общего количества студентов, изучающих язык (|A| + |B| + |C|), количество студентов, изучающих два языка (|A ∩ B| + |B ∩ C| + |C ∩ A|) и тех, кто изучает все три языка (|A ∩ B ∩ C|):

Количество студентов, изучающих только один язык = |A| + |B| + |C| - (|A ∩ B| + |B ∩ C| + |C ∩ A|) - |A ∩ B ∩ C|.

Пример: Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}, C = {5, 6, 8, 9}. Тогда количество студентов, изучающих только один язык, равно |A| + |B| + |C| - (|A ∩ B| + |B ∩ C| + |C ∩ A|) - |A ∩ B ∩ C| = 5 + 4 + 4 - (2 + 1 + 0) - 0 = 10.

Совет: Чтобы лучше понять операции над множествами, рекомендую продолжать изучение данной темы, решать задачи и проводить практические упражнения. Вы также можете использовать математические программы или онлайн-калькуляторы, чтобы выполнить операции над множествами и проверить свои результаты.

Закрепляющее упражнение: В группе 30 студентов изучают английский язык, 25 студентов изучают французский язык, 20 студентов изучают немецкий язык. Известно, что 10 студентов изучают английский и французский языки, 5 студентов изучают французский и немецкий языки, 3 студента изучают все три языка. Сколько студентов изучает только один язык?