Сколько способов покрасить все узлы прямоугольной 2 × 4 сетки (с учетом длин сторон сетки) в 2 цвета таким образом

Содержание вопроса: Комбинаторика

Объяснение: Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом, чтобы было понятнее. У нас есть прямоугольная 2x4 сетка, которую мы можем покрасить в 2 цвета. Наша задача состоит в том, чтобы определить, сколько существует способов покраски сетки таким образом, чтобы она оставалась неизменной после поворота на 180 градусов.

Для начала, давайте посмотрим на центр сетки. После поворота на 180 градусов, центр останется тем же цветом. Это означает, что мы можем покрасить центр в любой из двух цветов.

Теперь рассмотрим угловые узлы сетки. Их 4 штуки. После поворота на 180 градусов, все угловые узлы должны оставаться того же цвета. Это означает, что мы не можем покрасить все угловые узлы в разные цвета, иначе они изменятся после поворота. Таким образом, у нас есть 2 варианта: либо все угловые узлы одного цвета, либо два узла одного цвета, а другие два - другого.

Теперь рассмотрим боковые узлы. Их у нас 4 штуки. После поворота на 180 градусов, все боковые узлы должны менять свой цвет. Это означает, что мы не можем покрасить все боковые узлы в один и тот же цвет, иначе они останутся неизменными после поворота. Таким образом, у нас два варианта: либо два узла одного цвета и два узла другого цвета, либо все узлы разных цветов.

Подводя итог, у нас есть 2 варианта для центра, 2 варианта для угловых узлов и 2 варианта для боковых узлов. Пользуясь правилом умножения, мы можем умножить количество вариантов для каждого узла и получить общее количество способов покраски сетки.

Общее количество способов покраски сетки будет равно: 2 (центр) * 2 (угловые узлы) * 2 (боковые узлы) = 8.

Например: Найдите количество способов покрасить все узлы прямоугольной 3 × 5 сетки в 2 цвета таким образом, чтобы после поворота сетки на 180 градусов она снова стала самой собой.

Совет: Чтобы лучше понять комбинаторику и решать подобные задачи, рекомендуется изучить основные правила комбинаторики, такие как правило сложения и правило умножения. Также стоит попрактиковаться в решении задач на комбинаторику, чтобы всесторонне развить навыки в этой области.

Упражнение: Сколько существует способов покрасить все узлы прямоугольной 4 × 4 сетки в 3 цвета таким образом, чтобы после поворота сетки на 180 градусов она снова стала самой собой?