Сколько корней у уравнения tg3x=−1 на интервале (−π2;π2)?

Содержание вопроса: Уравнения с тригонометрическими функциями

Описание: Для решения уравнения tg(3x) = -1 на интервале (-π/2; π/2), мы должны найти все значения переменной x, которые удовлетворяют данному уравнению.

1. Начнем с того, что приводим уравнение к базовой тригонометрической функции. Мы знаем, что tg(x) = -1 эквивалентно x = π/4 + πk, где k - целое число.

2. Далее, мы видим, что в данном уравнении угол 3x. Поэтому мы должны разделить каждое решение на 3, чтобы найти значения x.

3. Делим полученное значение π/4 на 3: x = π/12 + πk/3.

4. Теперь можем найти значения x в заданном интервале. Подставляем k = -2, -1, 0, 1, 2 и получаем соответствующие решения:

a) x = π/12 + (π/3)(-2) = -5π/12;
b) x = π/12 + (π/3)(-1) = -π/4;
c) x = π/12 + (π/3)(0) = π/12;
d) x = π/12 + (π/3)(1) = 5π/12;
e) x = π/12 + (π/3)(2) = 4π/3.

Таким образом, у уравнения tg(3x) = -1 на интервале (-π/2; π/2) имеется 5 корней: -5π/12, -π/4, π/12, 5π/12 и 4π/3.

Демонстрация:
Уравнение tg(3x) = -1 на интервале (-π/2; π/2) имеет следующие значения x: -5π/12, -π/4, π/12, 5π/12 и 4π/3.

Совет:
Чтобы решить уравнение с тригонометрическими функциями, вы должны иметь хорошие знания о периодичности и обратных функциях, таких как арктангенс (tangent^-1). Также полезно знать основные значения тригонометрических функций на интервале от 0 до 2π, чтобы легче распознавать образец в уравнении.

Задача для проверки:
Найдите все значения x для уравнения sin(2x) = 0 на интервале [0;2π].